VIII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VIII OM, 1956-1957

Etap:

III

Dany jest sześcian o podstawie $ABCD$ , przy czym $AB = a$ cm. Obliczyć odległość prostej $BC$ od prostej przechodzącej przez punkt $A$ i przez środek $S$ ściany przeciwległej do podstawy.

Rozwiązanie

Ponieważ $BC\parallel AD$ , więc prosta $BC$ jest równoległa do płaszczyzny $ADS$ . Poszukiwana odległość prostych $BC$ i $AS$ równa jest odległości prostej $BC$ od płaszczyzny $ADS$ (rys. 25).

Weźmy pod uwagę równoległościan, którego podstawą jest kwadrat $ABCD$ , a jedną ze ścian bocznych prostokąt $AM ND$ będący przekrojem sześcianu płaszczyzną $ADS$ . Objętość tego równoległościanu równa się objętości $a^3$ danego sześcianu. Z drugiej strony objętość równoległościanu równa się iloczynowi pola $AM \cdot MN$ prostokąta $AMND$ przez odległość $x$ krawędzi $BC$ od płaszczyzny prostokąta. Otóż $AM = \sqrt{AA^2 + A_1M^2} = \sqrt{a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ , $MN = a$ , otrzymujemy zatem równanie

$<br /> \frac{a^2 \sqrt{5}}{2} \cdot x = a^3, \textrm{ skąd } x = \frac{2a}{\sqrt{5}}.<br />$