VII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

W kwadracie $ABCD$ o polu $S$ połączono wierzchołek $A$ ze środkiem boku $BG$ , wierzchołek $B$ ze środkiem boku $CD$ , wierzchołek $C$ ze środkiem boku $DA$ i wierzchołek $D$ ze środkiem boku $AB$ . Obliczyć pole tej części kwadratu, w której leży jego środek.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania uwidocznione jest na rys. 1, na którym $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ oznaczają środki boków, a $O$ środek kwadratu; przez wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ , $D$ poprowadzono proste równoległe odpowiednio do prostych $DQ$ , $AM$ , $BN$ , $CP$ . Jeżeli figurę obrócimy o $90^\circ$ dokoła punktu $O$ , punkt. $A$ upadnie na punkt $B$ , punkt $Q$ na punkt $M$ itd., a figura nałoży się na siebie. Stąd łatwy wniosek, że na figurze mamy siatkę złożoną z 9 równych kwadratów. Według twierdzenia Pitagorasa pole kwadratu $ABCD$ równa się sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych $AK$ i $BK$ trójkąta prostokątnego $AKB$ . Oznaczając pole szukane literą $x$ mamy zatem

$<br /> 4x + x = S,\textrm{ skąd } x =\frac{1}{5} S.<br />$