VII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Niech $O$ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ (rys. 2), $O_1$ - środek okręgu dopisanego stycznego do boku $AB$ , a $S$ - środek odcinka $OO_1$ .

Punkty $O$ , $O_1$ i $S$ leżą na dwusiecznej kąta $C$ .

Aby dowieść, że punkt $S$ leży na okręgu przechodzącym przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , wystarczy wykazać, że $\measuredangle ASC = \measuredangle ABC$ . W tym celu weźmy pod uwagę trójkąt $OAO_1$ . Półprosta $AO$ jest dwusieczną kąta $A$ trójkąta $ABC$ , a półprosta $AO_1$ - dwusieczną kąta przyległego, zatem $AO_1 \bot AO$ i punkt $S$ jako środek przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego $OAO_1$ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, wobec czego $SA = SO$ i $\measuredangle SAO = \measuredangle SOA$ . Obliczamy

$ \begin{split} \measuredangle ASC &= 180^\circ - (\measuredangle SAO + \measuredangle SOA) = 180^\circ - 2 \cdot \measuredangle SOA =\\ &= 180^\circ - 2 (\measuredangle OAC + \measuredangle OCA) = 180^\circ - \measuredangle BAC - \measuredangle BCA = \measuredangle ABC, \textrm{ c. n. d.} \end{split} $