VII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $p_1$ , $p_2$ , $q_1$ , $q_2$ spełniają równość

$ (1) \qquad p_1p_2 = 2(q_1 + q_2), $

to co najmniej jedno z równań

$ (2) \qquad x^2 + p_1x + q_1 = 0, \quad x^2 + p_2x + q_2 = 0 $

ma pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczając literami $\Delta_1$ i $\Delta_2$ wyróżniki równań (2) mamy $\Delta_1 = p_1^2 -4q_1$ $\Delta_2 = p_2^2 - 4q_2$ , skąd $q_1 = \frac{1}{4} (p_1^2 - \Delta_1)$ , $q_2 = \frac{1}{4} (p_2^2 - \Delta_2)$ . Podstawiamy te wartości do równości (1), otrzymujemy równość

$ p_1p_2 = \frac{1}{2} (p_1^2 - \Delta_1 + p_2^2 - \Delta_2), $

a stąd

$ \Delta_1 + \Delta_2 = p_1^2 - 2p_1p_2 + p_2^2= (p_1 - p_2)^2. $

Okazało się, że suma $\Delta_1+ \Delta_2$ jest liczbą nieujemną, zatem co najmniej jeden z wyróżników $\Delta_1$ , $\Delta_2$ jest nieujemny, więc co najmniej jedno z równań (2) ma pierwiastki rzeczywiste.