VII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad x = a + \sqrt{a+\sqrt{x}}. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewna liczba $x$ spełnia równanie (1); wówczas $x \geq 0$ i $a + \sqrt{x} \geq 0$ . Niech $a + \sqrt{x}=y$ , zatem $a = y - \sqrt{x}$ ; podstawienie tej wartości do równania (1) daje równanie $x = y - \sqrt{x} + \sqrt{x}$ Przekształcając to równanie, otrzymujemy kolejno

$ x - y + \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0 $

$ (\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0 $

$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} +1) = 0. $

Ponieważ drugi czynnik lewej strony powyższego równania jest dodatni, więc $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 0$ , skąd $x = y$ , czyli

$ (2) \qquad x = a + \sqrt{x}. $

Okazało się, że jeżeli $x$ spełnia równanie (1), to spełnia też równanie (2). Odwrotnie, jeśli $x$ spełnia równanie (2), to

$ a + \sqrt{a+\sqrt{x}} = a + \sqrt{x}=x, $

zatem $x$ spełnia też równanie (1). Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania (2), które możemy napisać w postaci

$ (\sqrt{x})^2-\sqrt{x}-a=0 $

Oznaczając $\sqrt{x} = z$ otrzymujemy równanie kwadratowe

$ (3) \qquad z^2 - z - a = 0 $

i należy wyznaczyć nieujemne pierwiastki tego równania.

Równanie (3) ma pierwiastki (rzeczywiste), jeżeli wyróżnik $1 + 4a \geq 0$ , tj. gdy $a \geq \frac{1}{4}$ i Zakładając, że ten warunek jest spełniony, mamy pierwiastki

$ z_1=\frac{1}{2}\left(1+ \sqrt{1+4a} \right), $

Pierwiastek $z_1$ jest dodatni, pierwiastek $z_2$ jest dodatni dla a < 0, (przy czym gdy $a = - \frac{1}{4}$ , wtedy $z_1 = z_1 = \frac{1}{2}$ ), równy zeru dla a = 0, ujemny dla a > 0. Uzyskujemy zatem wynik następujący:

a) Gdy $a < -\frac{1}{4}$ , równanie (1) nie ma pierwiastków;

b) gdy $a = - \frac{1}{4}$ , równanie (1) ma jeden pierwiastek $x = \frac{1}{4}$ ;

c) gdy $- \frac{1}{4} < a \leq 0$ , równanie (1) ma dwa pierwiastki
$x = \frac{1}{4}\left(1+\sqrt{1+4a}\right)^2$ i $x = \frac{1}{4}\left(1-\sqrt{1+4a}\right)^2$

d) gdy $a > 0$ , równanie (1) ma jeden pierwiastek

$ x = \frac{1}{4} \left( 1 + \sqrt{1 + 4a} \right)^2. $

Uwaga. Równoważność (w zakresie liczb rzeczywistych) równań (1) i (2) można udowodnić bezpośrednio w sposób następujący. Zauważmy, że $\sqrt{x}$ jest dla $x \geq 0$ funkcją rosnącą i że liczba $x_0$ może być tylko wtedy pierwiastkiem któregoś z równań (1) lub (2), gdy $x_0 \geq 0$ i $a + \sqrt{x_0} \geq 0$ . Przypuśćmy, że liczba $x_0$ czyni zadość tym nierównościom. Możliwe są wówczas 3 przypadki:

a) $a + \sqrt{x_0} = x_0$ , wówczas $a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} = a + \sqrt{x_0} = x_0$ ,

b) $a + \sqrt{x_0} > x_0$ , wówczas $a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} > a + \sqrt{x_0} > x_0$ ,

c) $a + \sqrt{x_0} < x_0$ , wówczas $a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} < a + \sqrt{x_0} < x_0$ .

Widzimy więc, że liczba $x_0$ spełnia równanie (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie (2), tzn. te równania są równoważne. W podobny sposób można wykazać, że każde z równań

$ x = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{x}}},\ x = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{x}}}},\ \ldots,\textrm{ itd.} $

jest równoważne równaniu $x = a + \sqrt{x}$ .