VII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

W przestrzeni leży prostokąt $ABCD$ oraz punkt $M$ . Obliczyć odległość $MD$ mając dane odległości $MA$ , $MB$ , $MC$ .

Rozwiązanie

Oprzemy się na twierdzeniu pomocniczym:

Jeżeli $O$ jest środkiem odcinka $AB$ , a $M$ - dowolnym punktem, to

$ (3) \qquad MA^2 + MB^2 = 2AO^2 + 2MO^2. $

Równość powyższą możemy uzasadnić w następujący sposób. Jeżeli punkt $M$ nie leży na prostej $AB$ , to z trójkątów $AOM$ i $BOM$ (rys. 5) mamy

$ (4) \qquad \begin{array}{l} MA^2 = AO^2 + MO^2 - 2 \cdot AO \cdot MO \cdot \cos \measuredangle AOM,\\ MB^2 = BO^2 + MO^2 - 2 \cdot BO \cdot MO \cdot \cos \measuredangle BOM. \end{array} $

Dodając równości (4) stronami i uwzględniając, że $BO =AO$ , a $\measuredangle BOM = 180^\circ - \measuredangle AOM$ , otrzymujemy równość (3).

Jeżeli punkt $M$ leży na prostej $AB$ , ale jest różny od punktu $O$ , to równości (4) są też słuszne; jeden z kątów $AOM$ i $BOM$ równa się wówczas $0^\circ$ , a drugi $180^\circ$ . Jeśli wreszcie punkt $M$ pokrywa się z punktem $O$ , to równość (3) jest oczywista, gdyż wtedy $MA = MB = AO$ , a $MO = 0$ .

Niech $A$ , $B$ , $C$ , $D$ będą wierzchołkami prostokąta o środku $O$ , a $M$ - dowolnym punktem przestrzeni. Stosując powyższe twierdzenie pomocnicze i biorąc pod uwagę, że przekątne prostokąta są równe, otrzymujemy równość

$ MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2, $

zatem

$ MD^2 = MA^2 +'MC^2 - MB^2. $