VII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, ze z odcinków o długościach $a$ , $b$ , $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (1) \qquad a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 > \frac{1}{2} (a^4 + b^4 + c^4). $

Rozwiązanie

Z odcinków o długościach $a$ , $b$ , $c$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

$ (2) \qquad a + b - c > 0,\ b + c - a > 0,\ c + a - b > 0. $

Należy wykazać, że jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówność (1) i są (jako miary odcinków) dodatnie, to spełniają też nierówności (2) i na odwrót. W tym celu przekształcamy nierówność (1). Pisząc tę nierówność w postaci

$ nr{3} a^4 - 2(b^2 + c^2) a^2 + (b^2 - c^2)^2 < 0 $

mamy po lewej stronie trójmian kwadratowy względem $a^2$ ; pierwiastki tego trójmianu otrzymujemy według wzoru

$ a^2 = (b^2 + c^2) \pm \sqrt{(b^2 + c^2)^2 - (b^2 - c^2)^2} = (b^2 + c^2) \pm 2bc = (b \pm c)^2. $

Wobec tego nierówności (3) możemy nadać postać

$ [a^2 - (b + c)^2] [a^2 - (b - c)^2] < 0 $

lub

$ (a + b + c) (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0. $

Zmieniając znak drugiego czynnika po lewej stronie otrzymujemy ostatecznie nierówność

$ (4) \qquad (a + b + c) (b + c - a) (a + b - c) (a + c - b) > 0. $

Jeśli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówność (1), a więc też nierówność (4) i są dodatnie, to $a + b + c > 0$ , więc albo pozostałe $3$ czynniki po lewej stronie (4) są dodatnie, tj. zachodzą nierówności (2), albo jeden z tych czynników jest dodatni, a dwa pozostałe ujemne. Ta ostatnia ewentualność zachodzić jednak nie może, gdyby bowiem było np. $b + c - a<0$ , $a + b - c < 0$ , wtedy dodając te nierówności stronami otrzymalibyśmy $2b < 0$ , a stąd $b < 0$ - wbrew założeniu.

A zatem z nierówności (1) i z warunku $a > 0$ , $b > 0$ , $c > 0$ wynikają nierówności (2).

Odwrotnie, jeżeli liczby $a$ , $b$ , $c$ spełniają nierówności (2), to spełniają też nierówność (1) i są dodatnie. Istotnie, dodając np. dwie pierwsze nierówności (2) stronami, otrzymujemy $2b > 0$ , czyli $b > 0$ i tak samo $a > 0$ , $c > 0$ , wobec czego $a + b + c > 0$ . Wszystkie czynniki po lewej stronie nierówności (4) są wówczas dodatnie, i nierówność (4) jest spełniona, zatem spełniona jest również nierówność (1).