VII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że jeżeli $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi$ , to

$ (1) \qquad \tg \alpha \cdot \tg \beta + \tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha = 1. $

Rozwiązanie

Z założenia wynika, że $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ oraz $\alpha + \beta = \frac{1}{2} \pi - \gamma$ są kątami ostrymi. Wobec tego

$ \tg (\alpha + \beta) = \ctg \gamma = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta}; $

stąd

$ \tg \alpha + \tg \beta = \ctg \gamma (1 - \tg \alpha \tg \beta) $

i ostatecznie

$ \tg \alpha \tg \beta + \tg \beta \tg \gamma + \tg \gamma \tg \alpha = 1. $

Uwaga. Twierdzenie można uogólnić. Aby wzór (1) był prawdziwy, wystarczy założyć, że każdy z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ma określony tangens, tzn. że żaden z tych kątów nie ma postaci $ frac{1}{2}\pi + m\pi$ , gdzie $m$ oznacza liczbę całkowitą, oraz że $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi + k\pi$ ( $k$ - liczba całkowita). Dla dowodu rozróżnimy dwa przypadki:

1° Któryś z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ jest całkowitą wielokrotnością $\pi$ , np. $\gamma = n\pi$ . Wzór (1), który trzeba udowodnić, ma wówczas postać $\tg \alpha \tg \beta = 1$ . Według założenia

$ \alpha + \beta = \frac{1}{2}\pi + k\pi - n\pi; $

stąd

$ \alpha = \frac{1}{2}\pi - \beta+ (k - n)\pi, $

zatem

$ \tg \alpha = \ctg \beta. $

Ponieważ według założenia $\beta$ nie ma postaci $\frac{1}{2}\pi + m\pi$ , więc $\ctg \beta \ne 0$ i równość powyższa daje

$ \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1. $

2° Żaden z kątów $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ nie jest całkowitą wielokrotnością $\pi$ . Wówczas

$ \alpha + \beta = \left( \frac{1}{2}\pi - \gamma \right) + k\pi, $

przy czym kąt $\frac{1}{2} \pi - \gamma$ nie ma postaci $\frac{1}{2}\pi + m\pi$ , więc istnieje $\tg (\frac{1}{2}\pi - \gamma) = \ctg \gamma$ i z równości powyższej otrzymujemy

$ \tg (\alpha + \beta) = \ctg \gamma, $

a stąd, jak wyżej, wzór (1).

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne:

Jeżeli zachodzi równość (1), to $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}\pi + k\pi$ ( $k$ - liczba calkcuita).

Udowodnimy to twierdzenie rozróżniając również dwa przypadki:

1° $\tg \gamma = 0$ , więc $\gamma = m\pi$ ( $m$ - liczba całkowita). Równość (1) ma wówczas postać

$ \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1; $

stąd

$ \tg \alpha = \ctg \beta, $

więc

$ \alpha = \frac{1}{2}\pi - \beta + n \pi, $

$ \alpha + \beta = \frac{1}{2}\pi + n\pi $

i ostatecznie

$ \alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}\pi + n\pi + m\pi = \frac{1}{2}\pi + k\pi, $

gdzie $k = m + n$ .

2° $\tg\gamma \ne 0$ . Z równości (1) mamy

$ (2) \qquad \tg \gamma (\tg \alpha + \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta. $

Otóż $1 - \tg \alpha \tg \beta \ne 0$ , gdyż z równości $1 - \tg \alpha \tg \beta = 0$ i z równości (2) wynikałaby równość $\tg \alpha + \tg \beta = 0$ , stąd zaś równość $\tg \alpha \tg \beta + \tg^2 \beta = 0$ i wreszcie równość $1 + \tg^2 \beta = 0$ , która jest niemożliwa. Możemy więc obie strony równości (2) podzielić przez $1 - \tg \alpha \tg \beta$ ; otrzymujemy