VII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ poprowadzono odcinki $m$ , $n$ , $p$ styczne do koła wpisanego w trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków $a$ , $b$ , $c$ . Wykazać, że

$ \frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} = 1. $

Rozwiązanie

Niech $2s$ oznacza obwód trójkąta, $P$ - jego pole, $r$ - promień koła wpisanego (rys. 11).

Trójkąt odcięty od danego trójkąta przez odcinek $m$ , jest podobny do danego trójkąta, a jego wysokość względem boku $m$ jest równa $h_a - 2r$ , gdzie $h_a$ oznacza wysokość danego trójkąta względem boku $a$ . Wobec podobieństwa trójkątów mamy