VII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $M$ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $M$ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

Rozwiązanie

\spos{1}

1°. Obierzmy punkt $M$ wewnątrz trójkąta równobocznego $ABC$ (rys. 12). Niech $a$ oznacza długość boku tego trójkąta, $h$ - jego wysokość, $x$ , $y$ , $z$ odległości punktu $M$ odpowiednio od boków $BC$ , $CA$ , $AB$ . Ponieważ

$ (1) \qquad \textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB = \textrm{pole }ABC, $

więc

$ \frac{1}{2} ax + \frac{1}{2} ay + \frac{1}{2} az = \frac{1}{2} ah, $

skąd

$ (2) \qquad x+y + z = h. $

Jeżeli punkt $M$ leży na brzegu trójkąta $ABC$ , to po lewej stronie równości (1) i (2) jeden lub dwa składniki równają się zeru; widoczne jest, że wzór (2) i wówczas jest prawdziwy.

Wzór (2) wyraża twierdzenie Vivianiego: Suma odległości dowolnego punktu trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta równa się wysokości trójkąta.

2°. Jeżeli $M$ jest punktem wewnętrznym czworościanu foremnego $ABCD$ (rys. 13), to

$ \textrm{obj. }MBCD + \textrm{obj. }MCDA + \textrm{obj. }MDAB + \textrm{obj. }MABC = \textrm{obj. }ABCD. $

Oznaczając pole ściany bocznej czworościanu, jego wysokość oraz odległości punktu $M$ od ścian $BCD$ , $CDA$ , $DAB$ , $ABC$ czworościanu odpowiednio literami $S$ , $h$ , $x$ , $y$ , $z$ , $u$ otrzymujemy na mocy powyższej równości

$ \frac{1}{3} S\cdot x + \frac{1}{3}S\cdot y + \frac{1}{3}S\cdot z+ \frac{1}{3} S\cdot u =\frac{1}{3} S\cdot h, $

a stąd

$ x+y+z+u=h. $

Uwaga 1. Jeżeli trójkąt $ABC$ nie jest równoboczny, suma $x + y + z$ odległości punktu $M$ tego trójkąta od jego boków nie jest stała. Nasuwa się pytanie: dla którego punktu $M$ suma ta jest najmniejsza, a dla którego największa?

Przypuśćmy, że trójkąt jest różnoboczny, niech np. $AB > AC > BC$ . Ponieważ

$ x + y + z = \frac{2 \cdot \textrm{pole }BMC}{BC} + \frac{2 \cdot \textrm{pole }CMA}{CA} + \frac{2 \cdot \textrm{pole }AMB}{AB}, $

więc

$ x + y +z \geq \frac{2 \cdot (\textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB)}{AB} = \frac{2 \cdot \textrm{pole }ABC}{AB} = h_{AB}, $

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $\textrm{pole }BMC = \textrm{pole }CMA = 0$ , tj. gdy punkt $M$ znajduje się w punkcie $C$ . Podobnie

$ x + y + z \leq \frac{2 (\textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB)}{BC} = \frac{2 \cdot \textrm{pole }ABC}{BC} = h_{BC}, $

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $\textrm{pole }CMA = \textrm{pole }AMB = 0$ , tj, gdy punkt $M$ pokrywa się z punktem $A$ .

A zatem $x + y + z$ ma wartość najmniejszą, gdy punkt $M$ leży w wierzchołku $C$ , największą zaś, gdy leży on w wierzchołku $A$ ; wartości te są równe najkrótszej i najdłuższej wysokości trójkąta. Czytelnik zechce sam sformułować twierdzenie dla przypadku trójkąta równoramiennego.

Analogicznie znajdujemy minimum i maximum sumy odległości punktu leżącego w dowolnym czworościanie od ścian tego czworościanu.

Uwaga 2. Twierdzenie Vivianiego można uogólnić rozważając również punkty $M$ leżące na zewnątrz trójkąta $ABC$ . Przyjmiemy następującą umowę: odległość punktu $M$ od prostej przechodzącej przez $2$ wierzchołki trójkąta uważać będziemy za dodatnią lub ujemną zależnie od tego, czy punkt $M$ leży po tej samej stronie owej prostej, co trzeci wierzchołek trójkąta, czy po stronie przeciwnej. Prawdziwe jest wówczas twierdzenie:

Jeżeli $ABC$ jest trójkątem równobocznym, to suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny $ABC$ od prostych $BC$ , $CA$ , $AB$ jest stała, a mianowicie równa się wysokości trójkąta $ABC$ .

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla czworościanu foremnego. Dowody obu twierdzeń łatwo przeprowadzić sposobem 1.

Uwaga 3. Jeszcze ogólniejsze twierdzenia uzyskamy, rozważając zamiast trójkąta równobocznego dowolny wielokąt równoboczny (niekoniecznie wypukły), a zamiast czworościanu foremnego dowolny wielościan, którego wszystkie ściany mają równe pola. Sformułowanie i uzasadnienie tych twierdzeń proponujemy czytelnikowi.