VII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dla jakiej wartości $m$ wielomian $x^3 + y^3 + z^3 + mxyz$ jest podzielny przez $x + y + z$ ?

Rozwiązanie

Wyrażenie $x^3 + y^3 + z^3 + mxyz$ jest wielomianem trzeciego stopnia względem $x$ ; wielomian ten jest podzielny przez $x + y + z$ wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek $x = - y - z$ , tzn. wtedy, gdy podstawiając $- (y + z)$ zamiast $x$ otrzymamy tożsamościowo $0$ . Stąd warunek