VII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że jeżeli $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta nieprostokątnego $ABC$ , to okręgi opisane na trójkątach $AHB$ , $BHC$ , $CHA$ i $ABC$ są równe.

Rozwiązanie

Niech $R$ oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , a $R_1$ - promień okręgu opisanego na trójkącie $AHB$ (rys. 16); wówczas

$ R = \frac{AB}{2 \sin \measuredangle ACB},\ R_1 = \frac{AB}{2 \sin \measuredangle AHB}. $

Otóż $\measuredangle AHB = \measuredangle NHM = 180^\circ - \measuredangle NCM = 180^\circ - \measuredangle ACB$ , gdyż w czworokącie $MHNC$ kąty $M$ i $N$ są proste. Zatem

$ \sin \measuredangle AHB = \sin \measuredangle ACB $

$ R_1 = R. $