VII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $Q$ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $A$ , $B$ , $C$ leżących na obwodzie płyty, przy czym $AC = BC$ i $ACB = 2\alpha$ . Jaki ciężar $x$ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $D$ średnicy poprowadzonej z punktu $C$ , aby nacisk płyty na podporę w $C$ G był równy zeru?

Rozwiązanie

Ciężar $Q$ płyty podpartej w punktach $A$ , $B$ , $C$ (rys. 17) jest zrównoważony przez reakcje podpór w tych punktach, działające pionowo w górę. Środek ciężkości $O$ płyty, jako punkt zaczepienia ciężaru $Q$ działającego w dół, musi leżeć wewnątrz trójkąta $ABC$ , tzn. kąt $2\alpha$ musi być ostry. Wobec symetrii płyty względem prostej $CD$ reakcje w $A$ i $B$ są równe, ich wypadkowa $R$ przechodzi przez środek $E$ odcinka $AB$ ; moglibyśmy usunąć podpory w $A$ i $B$ a, podeprzeć płytę w $E$ . Jeżeli umieścimy na płycie w punkcie $D$ ciężar $x$ , reakcje podpór ulegną zmianie. Mamy wyznaczyć ciężar $x$ w ten sposób, aby reakcja w $C$ (równa naciskowi płyty na podporę w $C$ ) stała się równa zeru. Nastąpi to wtedy, gdy ciężary $Q$ i $x$ oraz reakcja $R$ będą w równowadze.