VII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że równanie $2x^2 - 215y^2 = 1$ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Rozwiązanie

Niech $x$ i $y$ oznaczają liczby całkowite. Liczba $215y^2$ jest podzielna przez $5$ , więc liczba $215y^2 + 1$ daje w dzieleniu przez $5$ resztę $1$ . Liczba $x^2$ ma jedną z postaci $5k$ , $5k + 1$ , $5k + 4$ ( $k$ - liczba całkowita, patrz zadanie 2), zatem liczba $2x^2$ - jedną z postaci $10k$ , $10k + 2$ , $10k + 8 =10k +5 + 3$ , daje więc w dzieleniu przez $5$ jedną z reszt $0$ , $2$ lub $3$ . Nie może więc zachodzić równość $2x^2 = 215y^2 + 1$ , tj. dane równanie nie ma rozwiązań całkowitych.

Uwaga. Rozwiązanie zadania można ująć krócej, jeżeli dane równanie zastąpimy równaniem równoważnym $(2x)^2 = 430y^2 + 2$ i zamiast reszt w dzieleniu przez $5$ rozważymy reszty w dzieleniu przez $10$ , tj. ostatnie cyfry wyrazów tego równania, gdy $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi. Otóż ostatnią cyfrą kwadratu liczby parzystej $2x$ może być tylko $0$ , $4$ lub $6$ , ostatnią cyfrą liczby $430y^2$ jest $0$ , wobec czego ostatnią cyfrą liczby $430y^2 + 2$ jest $2$ . Dane równanie nie może więc mieć rozwiązań całkowitych $(x, y)$ .