VII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że liczby $A$ , $B$ , $C$ określone wzorami

$ A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\ B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\ C = \tg \alpha \tg \beta + 5, $

gdzie $\alpha>0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ i $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$ , spełniają nierówność

$ (1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}. $

Rozwiązanie

Gdy $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są kątami ostrymi dającymi w sumie kąt prosty, to $\tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha + \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1$ (patrz zadanie 10), zatem

$ (2) \qquad A + B + C = 16. $

Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby nieujemne $A$ , $B$ , $C$ czyniące zadość warunkowi (2) spełniają nierówność (1). Aby to udowodnić, oprzemy się na tożsamości

$ (\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C})^2 + (\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 + (\sqrt{B} - \sqrt{C})^2 + (\sqrt{C} - \sqrt{A})^2 = 3 (A + B + C). $