VII OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ABCD$ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

$ (1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC $

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Rozwiązanie

1°. Niech $S$ będzie środkiem koła wpisanego w trójkąt $ABC$ , a $T$ - środkiem koła wpisanego w trójkąt $BCD$ (rys. 18). Według założenia odcinki $AT$ i $DS$ przecinają się w pewnym punkcie $P$ . Płaszczyzna przechodząca przez krawędź $AD$ i przez punkt $P$ przecina krawędź $BC$ w punkcie $M$ , który jest punktem przecięcia półprostych $AS$ i $DT$ . Półprosta $AS$ jest dwusieczną kąta $BAC$ , a półprosta $DT$ - dwusieczną kąta $BDC$ ; według twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC} \textrm{ i } \frac{BD}{DC} = \frac{BM}{MC}, $

zatem

$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \textrm{ i } AB \cdot DC = AC \cdot BD. $

Ponieważ takie samo rozumowanie można zastosować do dowolnych dwóch ścian czworościanu, więc wszystkie $3$ iloczyny krawędzi przeciwległych są równe, tj. zachodzą równości (1).

2°. Załóżmy, że krawędzie czworościanu spełniają równości (1). Z równości $AB \cdot CD = AC \cdot BD$ wynika, że $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ , skąd wnioskujemy, że dwusieczne kątów $BAC$ i $BDC$ przecinają odcinek $BC$ w tym samym punkcie $M$ , gdyż pierwsza dzieli odcinek $BC$ w stosunku $\frac{AB}{AC}$ , druga zaś w stosunku $\frac{BD}{CD}$ . Wobec tego odcinki $AT$ i $DS$ (gdzie $S$ i $T$ są środkami kół wpisanych w trójkąty $ABC$ i $BDC$ ) przecinają się w pewnym punkcie $P$ trójkąta $AMD$ .

W taki sam sposób dowiedziemy, że każde dwa spośród odcinków łączących wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w przeciwległe ściany czworościanu przecinają się. Należy jeszcze udowodnić, że wszystkie te odcinki przecinają się w jednym i tym samym punkcie. Wykażemy na przykład, że odcinek $CR$ ( $R$ - środek koła wpisanego w trójkąt $ABD$ ) przechodzi przez punkt przecięcia $P$ odcinków $AT$ i $DS$ . Istotnie, odcinek $CR$ przecina płaszczyznę $AMD$ w pewnym punkcie $Q$ , gdyż punkty $R$ i $C$ leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny. Ponieważ zaś odcinek $CR$ przecina każdy z odcinków $AT$ i $DS$ płaszczyzny $AMD$ , więc punkt $Q$ pokrywa się z punktem $P$ .