VII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

III

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{l} x^2y^2 + x^2z^2 = axyz\\ y^2z^2 + y^2x^2 = bxyz\\ z^2x^2 + z^2y^2 = cxyz. \end{array} $

Rozwiązanie

1) Wyznaczymy najpierw rozwiązania rzeczywiste układu (1) spełniające warunek $x \ne 0$ , $y \ne 0$ , $z \ne 0$ . Przy tym założeniu układ (1) jest równoważny układowi równań

$ (2) \qquad \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} = a,\ \frac{yz}{x} + \frac{yx}{z} = b,\ \frac{zx}{y} + \frac{zy}{x} =c, $

który otrzymujemy dzieląc każde z równań (1) obustronnie przez $xyz$ .

Łatwy rachunek pokazuje, że układ (2) jest równoważny układowi równań

$ (3) \qquad \frac{yz}{x} = \alpha,\ \frac{zx}{y} = \beta,\ \frac{xy}{z} = \gamma, $

gdzie

$ (4) \qquad \alpha = \frac{b + c - a}{2},\ \beta = \frac{c + a - b}{2},\ \gamma = \frac{a + b - c}{2}. $

Zauważmy, że układ (3) może mieć rozwiązania tylko wtedy,, gdy $\alpha \ne 0$ , $\beta \ne 0$ , $\gamma \ne 0$ ; przyjmiemy, że $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ warunek ten spełniają.

Mnożąc parami równania układu (3) otrzymujemy układ równań

$ (5) \qquad x^2 = \beta \gamma,\ y^2 = \gamma \alpha,\ z^2 = \alpha \beta. $

Jeżeli pewne liczby $x$ , $y$ , $z$ spełniają równania (3), to spełniają też równania (5), ale nie na odwrót. Możemy się o tym przekonać np. w sposób następujący. Jeśli liczby $x_1$ , $y_1$ , $z_1$ spełniają równanie (5), to liczby $- x_1$ , $y_1$ , $z_1$ też spełniają równania (5). Tymczasem trójki liczb $(x_1, y_1, z_1)$ i $(-x_1, y_1, z_1)$ nie mogą obie spełniać równań (3), gdyż wówczas byłoby np. $\frac{y_1z_1}{x_1} = \alpha$ i jednocześnie $\frac{y_1z_1}{-x_1} = \alpha$ , po dodaniu zaś tych równości otrzymalibyśmy $0 = 2\alpha$ , wbrew założeniu, że $\alpha \ne 0$ . Układ równań (5) nie jest zatem równoważny układowi (3). Mówimy, że układ (5) wynika z układu (3), ale układ (3) nie wynika z układu (5).

Wobec powyższego, aby rozwiązać układ równań (3), należy znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań (5) i wybrać z nich te, które spełniają równania (3).

Warunkiem istnienia rozwiązań (rzeczywistych) układu równań (5) są nierówności

$ (6) \qquad \beta \gamma > 0,\ \gamma \alpha > 0,\ \alpha \beta > 0, $

które oznaczają, że wszystkie trzy liczby $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są tego samego znaku.

Jeżeli warunek (6) jest spełniony, to rozwiązania układu (5) są wyznaczone wzorami

$ (7) \qquad x = \pm \sqrt{\beta \gamma},\ y = \pm \sqrt{\gamma \alpha},\ z = \pm \sqrt{\alpha \beta}. $

Układ równań (5) ma więc $8$ rozwiązań odpowiadających $8$ możliwym kombinacjom znaków we wzorach (7). Z tych $8$ rozwiązań należy wybrać te, które są również rozwiązaniami układu równań (3). Zależy to od znaku liczb $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ .

a) Jeżeli $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są dodatnie, to z równań (3) widzimy, że wartości niewiadomych $x$ , $y$ , $z$ muszą być albo wszystkie dodatnie, albo jedna musi być dodatnia, a dwie ujemne. Układ (3) ma w tym przypadku $4$ rozwiązania:

$ (8) \qquad \begin{array}{lll} x = \sqrt{\beta \gamma}, & y = \sqrt{\gamma \alpha}, & z = \sqrt{\alpha \beta},\\ x = \sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\ x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = \sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\ x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = \sqrt{\alpha \beta}, \end{array} $

co łatwo sprawdzić przez podstawienie do równań (3).

b) Jeżeli $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są ujemne, to wartości $x$ , $y$ , $z$ muszą być albo wszystkie ujemne, albo jedna musi być ujemna, a dwie dodatnie. Stwierdzamy, że układ ma w tym przypadku również $4$ rozwiązania:

$ (9) \qquad \begin{array}{lll} x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\ x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = \sqrt{\gamma \alpha}, & z = \sqrt{\alpha \beta},\\ x = \sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = \sqrt{\alpha \beta},\\ x = \sqrt{\beta \gamma}, & y = \sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta}. \end{array} $

2) Należy jeszcze zbadać, czy układ równań (1) ma rozwiązania, w których jedna lub więcej niewiadomych ma wartość zero. Podstawiając $x = 0$ do równań (1) widzimy, że pierwsze równanie jest spełnione tożsamościowo, drugie zaś i trzecie dają to samo równanie

$ y^2z^2 = 0, $

skąd wynika, że jedna z niewiadomych $y$ , $z$ musi być równa zeru, a druga może mieć wartość dowolną. Układ równań (1) ma zatem następujące rozwiązania rozważanego rodzaju:

$ (10) \qquad \begin{array}{l} x = 0,\ y = 0,\ z - \textrm{dowolne}, \\ x = 0,\ y - \textrm{dowolne}, \ z = 0, x - \textrm{dowolne},\ y = 0, \ z = 0. \end{array} $

Streśćmy uzyskane wyniki. Układ równań (1) ma zawsze rozwiązania (10). Ponadto, jeśli wszystkie $3$ liczby $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ określone wzorami (4) są dodatnie, to układ (1) ma jeszcze rozwiązania (8), jeśli zaś liczby $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są wszystkie ujemne, to układ (1) ma jeszcze rozwiązania (9).

Uwaga. Powyżej wyznaczyliśmy rozwiązania rzeczywiste układu równań (1). Aby rozwiązać zadanie w dziedzinie liczb zespolonych (uważając $a$ , $b$ , $c$ również za dowolnie dane liczby zespolone), rozumujemy, jak następuje.

Tak samo jak poprzednio stwierdzamy, że układ równań (1) ma zawsze rozwiązania (10) i że rozwiązania inne [stanowiące zarazem rozwiązania układu (3)] istnieją tylko wtedy, gdy żadna z liczb $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ określonych wzorami (4) nie jest równa zeru. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to każde z równań (5) ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi. Niech rozwiązaniami pierwszych dwóch równań (5) będą liczby $x_0$ i $- x_0$ oraz $y_0$ i $-y_0$ . Podstawiając $x = x_0$ , $y = y_0$ do pierwszego z równań (3), otrzymujemy dla niewiadomej z wartość $z_0 = \frac{\alpha x_0}{y_0}$ . Liczby $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ spełniają również drugie i trzecie równanie układu (3), gdyż

$ \frac{z_0x_0}{y_0}= \frac{\alpha x_0x_0}{y_0y_0}= \frac{\alpha x_0^2}{y_0^2}= \frac{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha}= \beta, $

$ \frac{x_oy_0}{z_0} = \frac{x_0y_0^2}{\alpha x_0} = \frac{\gamma \alpha}{\alpha} = \gamma. $

Jednym rozwiązaniem układu (3) jest więc

$ x = x_0,\ y = y_0,\ z = z_0, \textrm{ przy czym } z_0 = \frac{\alpha x_0}{y_0}. $

Analogicznie otrzymujemy $3$ inne rozwiązania:

$ \begin{array}{lll} x = x_0, & y = - y_0, & z = - z_0, \\ x = -x_0, & y = y_0, & z = - z_0, \\ x = -x_0, & y = - y_0, & z = z_0. \end{array} $

Łatwo sprawdzić, że gdy spełniony jest warunek (6), wtedy $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są liczbami rzeczywistymi tego samego znaku, a $4$ rozwiązania powyższe pokrywają się z rozwiązaniami (8), jeśli $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , $\gamma > 0$ , a z rozwiązaniami (9), jeśli $\alpha < 0$ , $\beta < 0$ , $\gamma < 0$ .