VII OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} $

oraz $n$ jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to

$ (2) \qquad \frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n + b^n + c^n} $

Rozwiązanie

Przekształcamy równość (1); przenosimy wyrażenie $\frac{1}{a + b + c}$ na lewą stronę i mnożymy obie strony przez $abc (a + b + c)$ :

$ (a + b + c) bc + (a + b + c) ac + (a + b + c) ab - abc = 0. $

Otwieramy nawiasy i porządkujemy lewą stronę według potęg $a$ ; otrzynmjemy

$ a^2 (b + c) + a(b + c)^2 + bc (b + c) = 0, $

$ (b + c) [a^2 + a (b + c) + bc] = 0 $

i wreszcie

$ (3) \qquad (b + c) (c + a) (a + b) = 0. $

Z równości (3) wynika, że dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są liczbami przeciwnymi, np. $b = - a$ . W takim razie $b_n = - a^n$ dla każdego nieparzystego $n$ , wobec czego równość (2) przybiera postać $\frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n}$ , jest więc prawdziwa.