VII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

III

Na prostej dane są trzy różne punkty $M$ , $D$ , $H$ . Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej, $D$ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $H$ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

Rozwiązanie

Niech $ABC$ będzie poszukiwanym trójkątem prostokątnym. Ponieważ punkty $M$ , $D$ , $H$ są różne, więc przy prostokątne $AC$ i $BC$ nie są równe, niech np. $AC > BC$ . Wówczas punkt $D$ leży między punktami $M$ i $B$ , a punkt $H$ - między punktami $D$ i $B$ , zatem punkt $D$ leży między punktami $M$ i $H$ (rys. 19).

Ponieważ

$ \measuredangle MCD = \measuredangle ACD - \measuredangle ACM = 45^\circ - \measuredangle A, $

$ \measuredangle DCH = \measuredangle ACH - \measuredangle ACD = 90^\circ - \measuredangle A - 45^\circ = 45^\circ - \measuredangle A, $

więc $CD$ jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $C$ trójkąta $MCH$ . Stąd wynika, że $MD > DH$ , gdyż $MD \colon DH = MC \colon CH$ , a $MC > CH$ .

Zadanie ma zatem rozwiązanie tylko wtedy, gdy dane punkty $M$ , $D$ , $H$ są tak położone, że $D$ leży między $M$ i $H$ i $MD > CH$ . Warunki te są zarazem dostateczne. Wierzchołek $C$ znajdziemy bowiem jako punkt przecięcia okręgu Apolloniusza dla odcinka $MH$ i stosunku $MD \colon DH$ z prostopadłą do prostej $MH$ w punkcie $H$ , który leży wewnątrz owego okręgu. Pozostałe wierzchołki trójkąta znajdziemy odmierzając na prostej $MH$ po obu stronach punktu $M$ odcinki $MA = MC$ i $MB = MC$ . Otrzymany w ten sposób trójkąt $ABC$ spełnia warunki zadania. Jest on bowiem prostokątny, gdyż punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB$ , $CM$ jest jego środkową, $CH$ - wysokością; wreszcie $CD$ jest dwusieczną kąta $C$ , gdyż $\measuredangle ACD = \measuredangle ACM + \measuredangle MCD = \measuredangle A + \measuredangle MCD = \measuredangle BCH + \measuredangle HCD = \measuredangle BCD$ .

Zadanie ma dwa rozwiązania symetryczne względem danej prostej $MH$ .