VII OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

III

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $2a$ można nakryć krążkiem o średnicy równej $a$ .

Rozwiązanie

Niech $W$ będzie wielokątem, którego obwód ma długość $2a$ . Obierzmy na jego obwodzie dwa punkty $A$ i $B$ dzielące obwód na połowy, tj. na dwie części o długości $a$ ; wówczas $AB <a$ (rys. 20).

Udowodnimy, że krążek o promieniu $\frac{a}{2}$ , którego środek leży w środku $O$ odcinka $AB$ , całkowicie nakrywa wielokąt $W$ .

Zastosujemy metodę sprowadzenia do sprzeczności. Przypuśćmy, że krążek ten nie nakrywa wielokąta. Część wielokąta wystaje wówczas poza krążek, więc istnieje taki punkt $C$ obwodu wielokąta, że $OC > \frac{a}{2}$ . Punkt $C$ jest różny od $A$ i od $B$ , gdyż $OA = OB < \frac{a}{2}$ , dzieli więc jedną z połówek obwodu wyznaczonych przez $A$ i $B$ na dwie części. Niech $p$ będzie długością tej części, której końcami są $A$ i $C$ , a $q$ długością części o końcach $C$ i $B$ ; oczywiście $p + q = a$ . Ponieważ $p \geq AC$ oraz $q \geq CB$ , więc

$ (1) \qquad a = p + q \geq AC + CB. $

Lecz

$ (2) \qquad AC + CB > 2 OC > a. $

Z (1) i (2) otrzymujemy sprzeczność $a > a$ ; przypuszczenie, że krążek nie zakrywa wielokąta, jest więc fałszywe.

Pisząc nierówność (2) zastosowaliśmy twierdzenie, że suma boków $AC$ i $CB$ trójkąta $ABC$ jest większa od podwojonej środkowej $OC$ . Twierdzenie to łatwo udowodnić: Niech $C'$ będzie punktem symetrycznym do punktu $C$ względem punktu $O$ , wówczas

$ AC + CB = AC + C'A > C'C = 2 OC. $

Uwaga 1. Jeżeli krążek ma średnicę mniejszą niż $a$ , np. równą $a - d$ ( $d < a$ ), to nie każdy wielokąt o obwodzie $2a$ da się nim nakryć. Na przykład nie można nim nakryć trójkąta o bokach $a - \frac{d}{2}$ , $\frac{a}{2} + \frac{d}{4}$ , $\frac{a}{2} + \frac{d}{4}$ .

Uwaga 2. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze: krążkiem o średnicy $a$ można nakryć każdy kawałek płaszczyzny ograniczony krzywą o długości $2a$ . Dowód pozostaje taki sam, jak poprzednio.