VII OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VII OM, 1955-1956

Etap:

III

Dana jest kula o promieniu $R$ i płaszczyzna $\alpha$ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $\alpha$ porusza się punkt $S$ , który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $C$ . Znaleźć miejsce geometryczne punktu $C$ .

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do pewnego zadania planimetrycznego. Obierzmy na płaszczyźnie $\alpha$ punkt $S$ różny od punktu $S_0$ , w którym prostopadła opuszczona ze środka $O$ kuli na płaszczyznę $\alpha$ przecina tę płaszczyznę (rys. 21).

Płaszczyzna $S_0OS$ prostopadła do płaszczyzny $\alpha$ przecina płaszczyznę $\alpha$ wzdłuż prostej $p$ , daną kulę - wzdłuż okręgu $K$ o promieniu $R$ , a stożek utworzony przez styczne do kuli poprowadzone z punktu $S$ - wzdłuż pary stycznych $SM$ i $SN$ do okręgu $K$ . Środkiem okręgu styczności stożka z kulą jest środek $C$ cięciwy $MN$ . Gdy punkt $S$ przebiega prostą $p$ , punkt $C$ zakreśla pewną linię $L$ . Poszukiwanym miejscem geometrycznym punktu $C$ w przestrzeni jest powierzchnia utworzona przez obrót linii $L$ dokoła prostej $OS_0$ . Aby rozwiązać zadanie, wystarczy znaleźć linię $L$ .

W tym celu poprowadźmy z punktu $S_0$ styczne $S_0M_0$ i $S_0N_0$ do okręgu $K$ ; niech $C_0$ oznacza środek cięciwy $M_0N_0$ . W trójkątach prostokątnych $OMS$ i $OM_0S_0$

$ OC \cdot OS = OM^2 = R^2, $

$ OC_0 \cdot OS_0 = OM_0^2 = R^2, $

zatem

$ OC \cdot OS = OC_0 \cdot OS_0,, \frac{OC}{OC_0} = \frac{OS_0}{)S}, $

a wobec tego $\frac{OC}{OC_0} = \cos \measuredangle SOS_0 = \cos \measuredangle COC_0$ i $CC = CC_0 \cdot \cos \measuredangle COC_0$ , skąd wynika, że punkt $C$ jest rzutem prostokątnym punktu $C_0$ na prostą $OS$ , tzn. że $\measuredangle OCC_0$ jest prosty. Gdy punkt $S$ zakreśla prostą $p$ , punkt $C$ porusza się po okręgu o średnicy $OC_0$ , przy czym znajdzie się w każdym punkcie tego okręgu z wyjątkiem punktu $O$ . Miejscem geometrycznym punktu $C$ w płaszczyźnie okręgu $K$ jest zatem okrąg o średnicy $OC_0$ , z którego usunięto punkt $0$ . Miejscem geometrycznym punktu $C$ w przestrzeni jest kula o średnicy $OC_0$ bez punktu $O$ .

Uwaga 1. Z równości $OC = \frac{R^2}{OS}$ wynika, że punkt $C$ jest obrazem punktu $S$ w inwersji względem okręgu $K$ . Rozwiązanie zadania otrzymujemy natychmiast, stosując twierdzenie, że obrazem prostej w inwersji jest okrąg przechodzący przez środek $O$ inwersji bez samego punktu $O$ .

Uwaga 2. Zadanie można postawić również dla przypadku, gdy płaszczyzna $\alpha$ przecina daną kulę lub jest do niej styczna. Jaki jest wówczas wynik?