VI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x + y + z + u = 8\\ x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 20\\ xy + xu + zy + zu = 16\\ xyzu = 9 \end{array} $

Rozwiązanie

Ponieważ

$ (x + y + z + u)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + u^2 + 2 (xy + xu + zy + zu) + 2 (xz + yu), $

$ xy + xu + zy + zu = (x + z) (y + u), $

przeto wprowadzając oznaczenia

$ x + z = m,\ xz = n,\ y + u = p,\ yu = q $

możemy układ równań (1) zastąpić układem

$ \begin{array}{cc} m + p = 8, & n + q = 6\\ mp = 16, & nq = 9 \end{array} $

równoważnym układowi

$ m = p =4,\ n = q = 3 $

czyli układowi

$ (2) \qquad \begin{array}{cc} x + z= 4, & y + u = 4\\ xz = 3, & yu = 3 \end{array} $

Układ równań (2), a więc i układ (1) ma $4$ rozwiązania:

$x_1= 3, y_1 = 3, z_1 = 1, u_1 = 1;$

$x_2= 3, y_2 = 1, z_2 = 1, u_2 = 3;$

$x_3= 1, y_3 = 3, z_3 = 3, u_3 = 1;$

$x_4= 1, y_4 = 1, z_4 = 3, u_4 = 3;$