VI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Przez środek jednego z boków nierównoległych trapezu przeprowadzić prostą, która dzieli trapez na dwie części o równych polach.

Rozwiązanie

Niech $ABCD$ będzie trapezem, w którym bokami równoległymi są $AB$ i $DC$ i niech $M$ będzie środkiem boku $AD$ (rys. 1). Zauważmy, że $\textrm{pole }ABM = \frac{1}{4} AB \cdot h$ , $\textrm{pole }DCM = \frac{1}{4} DC \cdot h$ , $\textrm{pole }ABCD = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h$ , gdzie $h$ oznacza wysokość trapezu. Każdy z trójkątów $ABM$ i $DCM$ ma zatem pole mniejsze od połowy pola trapezu, a stąd wynika, że prosta przechodząca przez punkt $M$ i dzieląca trapez na dwie części o równych polach musi przeciąć prostą $BC$ w pewnym punkcie $N$ leżącym między punktami $B$ i $C$ . Niech $MN$ będzie prostą szukaną, wówczas $\textrm{pole }ABNM = \textrm{pole }MNCD$ . Poprowadźmy odcinki $AN$ i $ND$ , wówczas $\textrm{pole }AMN = \textrm{pole }MDN$ , zatem również $\textrm{pole }ABN = \textrm{pole }CDN$ . Ponieważ $\textrm{pole }ABN = AB \cdot BN \cdot \sin \measuredangle B$ , $\textrm{pole }CDN = CD \cdot CN \cdot \sin \measuredangle C$ , a

$ \sin \measuredangle C = \sin (180^\circ - \measuredangle B) = \sin B, $

zatem

$ AB \cdot BN = CD \cdot CN \textrm{ lub } \frac{BN}{CN} = \frac{CD}{AB}. $

Poszukiwany punkt $N$ musi zatem dzielić odcinek $BC$ w stosunku $\frac{CD}{AB}$ . Odwrotnie, jeśli $\frac{BN}{CN} = \frac{CD}{AB}$ , to przebiegając powyższe rozumowanie w kierunku odwrotnym stwierdzamy, że istotnie $\textrm{pole }ABNM = \textrm{pole }MNCD$ . Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Zadanie można rozwiązać bez zastosowania trygonometrii opierając się np. na twierdzeniu, że pola trójkątów mających jedną parę równych kątów są w takim stosunku jak iloczyny boków zawierających owe równe kąty.

W tym celu na przedłużeniu boku $BC$ odmierzamy odcinek $CE = CN$ . Wówczas $\textrm{pole }DCE = \textrm{pole }DCN = \textrm{pole }ABN$ , przy czym trójkąty $ABN$ i $DCE$ mają przy wierzchołkach $B$ i $C$ kąty równe. Stosując wymienione wyżej twierdzenie otrzymujemy

$ AB \cdot BN = CD \cdot CE = CD \cdot CN, $

tj. tę samą równość co poprzednio.