VI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Znaleźć wzór wyrażający sumę

$ \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} $

w zależności od $n$ .

Rozwiązanie

Według wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego jest

$ 2^k + 2^{k-1} + \ldots + 2 + 1 = 2^{k+1} - 1. $

Poszukiwaną sumę $s_n$ możemy obliczyć przedstawiając ją w postaci sumy $n$ składników, z których każdy jest sumą pewnego postępu geometrycznego

$ \begin{split} s_n &= \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} = \\ & = \frac{1}{2^n} \left[ 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \ldots + (n-1) \cdot 2 + n \right] = \\ & = \frac{1}{2^n} \left[ (2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 1) + (2^{n-2} + 2^{n-3} + \ldots + 1 ) + \ldots + (2+1) + 1 \right]. \end{split} $

Stosując wzór wyżej podany otrzymamy

$ \begin{split} s_n & = \frac{1}{2^n} [(2^n - 1) + (2^{n-1} - 1) + \ldots + (2^2 - 1) + (2 - 1)] = \\ & = \frac{1}{2^n} (2^n + 2^{n-1} + \ldots + 2^2 + 2 - n) = \frac{1}{2^n} [(2^{n+1} - 1) - 1 - n] = \\ & = \frac{1}{2^n} [2^{n+1} - (2 + n)] \end{split} $

i ostatecznie

$ (*) \qquad s_n = 2- \frac{2 + n}{2^n}. $