VI OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $a$ i $b$ , przy czym $b$ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $x$ i $y$ spełniające równanie

$ \sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że zachodzi równość

$ (1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{a - \sqrt{b}}, $

gdzie $a$ , $b$ , $x$ , $y$ są liczbami całkowitymi, a przy tym $b$ nie jest kwadratem liczby całkowitej; w takim razie liczby $a$ , $b$ , $x$ , $y$ są dodatnie, tj. są liczbami naturalnymi i $x > y$ . Podnosząc równość (1) do kwadratu otrzymujemy równość

$ x + y - 2 \sqrt{xy} = a - \sqrt{b} \textrm{ lub } (x + y - a) + \sqrt{b} = 2 \sqrt{xy}, $

a stąd przez ponowne podniesienie do kwadratu równość

$ (2) \qquad (x + y - a)^2 + b + 2 (x + y - a) \sqrt{b} = 4 xy. $

Z równości (2) wnioskujemy, że $x + y - a = 0$ ; gdyby bowiem było $x + y - a \ne+ 0$ , wtedy z równości (2) wynikałoby, że

$ (3) \qquad \sqrt{b} = \frac{4xy - (x + y - a)^2 - b}{2(x + y - a)}, $

co nie może zachodzić, gdyż lewa strona równości (3) jest według założenia liczbą niewymierną, prawa zaś - wymierną.

Zatem $x + y = a$ , więc na mocy (2) $4xy = b$ .

Rozwiązując ten układ równań względem $x$ i $y$ i biorąc pod uwagę, że $x > y$ otrzymujemy

$ (4) \qquad x = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2},\ y = \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}. $

Ponieważ $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi, więc ze wzorów (4) wynika, że:

1° liczba $a^2 - b$ jest kwadratem liczby całkowitej, gdyż

$ a^2 - b = (x - y)^2, $

2° liczba $b$ jest parzysta, gdyż $a$ i $\sqrt{a^2 - b}$ muszą być liczbami tej samej parzystości, oraz $b = a^2 - (\sqrt{a^2 - b})^2$ .

Odwrotnie, jeżeli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunki 1° i 2°, to $a$ i $\sqrt{a^2-b}$ są liczbami naturalnymi tej samej parzystości, gdyż $a^2 - (\sqrt{a^2-b})^2 = b$ jest liczbą parzystą; zatem liczby $x$ i $y$ określone wzorami (4) są liczbami naturalnymi, a przy tym spełniają one równość (1), gdyż według wzorów (4)

$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} = a - 2\sqrt{\frac{b}{4}} = a - \sqrt{b}. $