VI OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Na środkowej $CM$ trójkąta $ABC$ obrano punkt $N$ i poprowadzono prostą $AN$ przecinającą bok $BC$ w punkcie $Q$ oraz prostą $BN$ przecinającą bok $AC$ w punkcie $P$ . Dowieść, że prosta $PQ$ jest równoległa do prostej $AB$ .

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę sprowadzenia do niedorzeczności. Przypuśćmy, że równoległa do prostej $AB$ poprowadzona przez punkt $P$ przecina prostą $BC$ w punkcie $Q'$ różnym od punktu $Q$ (rys. 5). Prosta $AQ'$ przecina wówczas prostą $BP$ w punkcie $N'$ różnym od punktu $N$ ; prosta $CN'$ przecina prostą $AB$ w punkcie $M'$ różnym od punktu $M$ , a prostą $PQ'$ w punkcie $K$ .

Wówczas

$<br /> AM' \colon M'B = PK \colon KQ' \textrm{(w jednokładności względem środka }C)<br />$

$<br /> AM' \colon M'B = KQ' \colon PK \textrm{(w jednokładności względem środka }N')<br />$

Z tych równań wynika, że $AM' \colon M'B = M'B \colon AM'$ , zatem $(AM')^2 = (M'B)^2$ i $AM' = M'B$ , co jest sprzeczne z założeniem, że środkiem odcinka $AB$ jest punkt $M$ , a nie punkt $M'$ .