IX CPS - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

IX CPS, 2009

Niech $\mathbb R_+$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Znaleźć wszystkie funkcje $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ , spełniające dla dowolnych $x,y\in\mathbb R_+$ zależność

$ (1+yf(x))(1-yf(x+y))=1. $

Rozwiązanie

Niech $f(1)=a>0$ . Podstawiając $x=1$ i przekształcając równanie z treści zadania, otrzymujemy

$ (1+ay)\left(1-yf(y+1)\right)=1,\\ ay-yf(y+1)(1+ay)=0,\\ f(y+1)=\frac a{1+ay}. $

Następnie ponownie przekształcamy równanie z treści zadania, podstawiając $y=1$ i $f(x+1)=a/(1+ax)$ :

$ \begin{split} \left(1+f(x)\right)\left(1-\frac a{1+ax}\right)&=1,\\ f(x)\cdot\frac{1+ax-a}{1+ax}&=\frac a{1+ax},\\ f(x)&=\frac a{1+ax-a}=\frac1{x+\frac1a-1}=\frac1{x+c}, \end{split} $