VI OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

Rozwiązanie

W czworokąt wypukły $ABCD$ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy boków przeciwległych czworokąta są równe, tj. gdy

$<br /> (1) \qquad AB + CD = AD + BC.<br />$

Gdy czworokąt $ABCD$ jest trapezem o bokach równoległych $AB$ i $CD$ , to oznaczając literami $M$ i $N$ odpowiednio środki boków $AD$ i $BC$ (rys. 6) mamy $AB + CD = 2 MN$ , wobec czego równość (1) możemy zastąpić równością

$<br /> (2) \qquad MN = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC.<br />$

Równość (2) zaś wyraża warunek konieczny i dostateczny styczności zewnętrznej okręgów o środkach $M$ i $N$ i promieniach $\frac{1}{2} AD$ i $\frac{1}{2} BC$ .