VI OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Przedstawić wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Jeżeli wielomian $W (x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ jest równy różnicy $U(x)^2 - V(x)^2$ , gdzie $U(x)$ i $V(x)$ są wielomianami niejednakowego stopnia, to wielomian $U(x)$ musi być stopnia drugiego a wielomian $V(x)$ stopnia pierwszego lub zerowego. W takim razie wielomian $V(x)^2$ nie zawiera wyrazów stopnia wyższego niż drugi, wobec czego pierwsze dwa wyrazy wielomianu $U(x)^2$ muszą być takie same, jak w danym wielomianie $W(x)$ , tj. $U(x)^2$ ma postać $x^4 + x^3 + \ldots$ . Stąd wnioskujemy, że wielomian $U(x)$ ma postać $U(x) = x^2 + \frac{1}{2}x + a$ . Zatem

$ \begin{split} V(x)^2 & = U(x)^2 - W(x) = (x^2 + \frac{1}{2}x + a)^2 -(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = \\ & = \left( 2a - \frac{3}{4} \right) x^2 + (a - 1) x + a^2 - 1. \end{split} $

Z wyrażenia otrzymanego dla $V(x)^2$ widzimy, że $V(x)$ nie może być stopnia zerowego, gdyż nie może być jednocześnie $2a - \frac{3}{4} = 0$ i $a - 1 = 0$ ; $V(x)$ musi być zatem stopnia pierwszego. Stąd wynika dalej że kwadrat funkcji $V(x)$ musi być trójmianem kwadratowym, w którym współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, a wyróżnik równa się $0$ , zatem

$ 2a - \frac{3}{4} > 0,\ (a-1)^2 - 4 \left( 2a - \frac{3}{4} \right) (a^2-1) =0. $

Drugi warunek daje po uproszczeniu równanie

$ (a - 1) (4a^2 + 2a - 1) = 0. $

Równanie to ma trzy pierwiastki $a = 1$ i $a = \frac{1}{4}$ ( $- 1 \pm \sqrt{5}$ ), z których tylko pierwiastek $a = 1$ spełnia warunek $2a - \frac{3}{4} > 0$ . Ostatecznie otrzymujemy rozkład

$ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + \frac{1}{2}x + 1)^2 = \left( \frac{1}{2}\sqrt{5} x \right)^2. $

jako jedyne rozwiązanie zadania.