VI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Wykazać, że liczba $53^{53} - 33^{33}$ jest podzielna przez $10$ .

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że końcowe cyfry liczb $53^{53}$ i $33^{33}$ są jednakowe. Otóż końcowa cyfra iloczynu $(10k + a) (10m + b) (10n + c) \ldots$ , gdzie $k, m, n, \ldots a, b, c, \ldots$ są liczbami naturalnymi jest równa końcowej cyfrze iloczynu $abc\ldots$ . Liczba $53^{53}$ ma zatem taką samą końcową cyfrę, jak liczba $3^{53}$ . Lecz $3^{53} = 3^{52} \cdot 3 = (81)^{13} \cdot 3$ , więc liczba $3^{53}$ ma taką samą końcową cyfrę, jak liczba $1^{13} \cdot 3$ , tj. cyfrę $3$ . Podobnie liczba $33^{33}$ ma taką samą końcową cyfrę jak liczba $3^{33} = 3^{32} \cdot 3 = (3^4)^8 \cdot 3 = (81)^8 \cdot 3$ , tj. cyfrę $3$ , c. n. d.

Powyższemu rozumowaniu można nadać postać krótką i dobitną posługując się pojęciami i najprostszymi własnościami kongruencji (p. Zadania z olimpiad matematycznych, zadanie Nr 8).

Ponieważ $53 \equiv 3 \pmod {10}$ , $33 \equiv 3 \pmod 10$ , $3^4 \equiv 1 \pmod{10}$ , więc