VI OM - I - Zadanie 11

Dowieść, że w trójkącie ostrokątnym suma odległości ortocentrum (tzn. punktu przecięcia wysokości) od wierzchołków jest dwa razy większa od sumy promieni kół opisanego i opisanego.

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia można przeprowadzić bez stosowania związków trygonometrycznych. Poprowadźmy przez każdy wierzchołek trójkąta prostą równoległą do boku przeciwległego i oznaczmy punkty przecięcia tych prostych literami , , jak wskazuje rys. 7. Trójkąt jest podobny do trójkąta w skali , punkty , , są odpowiednio środkami boków , i , więc punkt , jako punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta , jest środkiem koła opisanego na tym trójkącie; promień tego koła wynosi . Pole trójkąta jest sumą pól trójkątów , i o podstawach równych odpowiednio , , i wysokościach , , , zatem

Weźmy pod uwagę czworokąt ; ma on w wierzchołkach i kąty proste, wobec czego ma koło opisane o średnicy . Stosując do tego czworokąta twierdzenie Ptolemeusza otrzymujemy:

czyli

Analogicznie

Dodajmy stronami równości (3), (4), (5), (6); otrzymamy:

stąd

i ostatecznie