VI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $P$ , aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

Rozwiązanie

Niech $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ oznaczają odległości punktu $P$ leżącego w trójkącie równobocznym $ABC$ odpowiednio od boków $BC$ , $CA$ , $AB$ tego trójkąta. Z odcinków o długościach $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają one nierówności:

$ (1) \qquad k_3 < k_1 + k_2,\ k_1 < k_2 + k_3,\ k_2 < k_3 + k_1. $

Poprowadźmy przez punkt $P$ równoległą do boku $AB$ i niech $D$ i $E$ będą punktami, w których przecina ona boki $AC$ i $BC$ (rys. 8).

W trójkącie równobocznym $CDE$ suma $k_1+k_2$ odległości punktu $P$ leżącego na boku $DE$ od boków pozostałych równa się wysokości $CF$ tego trójkąta. Istotnie $\textrm{pole }CEP + \textrm{pole }CDP = \textrm{pole }CDE$ , więc $CE \cdot k_1 + CD \cdot k_2 = DE \cdot CF$ , skąd $k_1 + k_2 = CF$ . Warunek $k_3 < k_1 + k_2$ można zatem napisać w postaci $k_3 < CF$ , a ponieważ $k_3 + CF$ równa się wysokości $h$ trójkąta $ABC$ , więc warunek ten jest równoważny warunkowi