VI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Obliczyć sumę $x^4 + y^4 + z^4$ wiedząc, że $x + y + z = 0$ i $x^2 + y^2 + z^2 = a$ , gdzie $a$ jest daną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

$ \begin{split} x^4 + y^4 + z^4 &= (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) =\\ &= a^2 - 2 [(xy + yz + zx)^2 - 2x^2yz - 2xy^2z - 2xyz^2] =\\ &= a^2 - 2 (xy + yz + zx)^2 - 4xyz (x+y+z) = \\ &= a^2 - 2 (xy + yz + zx)^2 =\\ &= a^2 - 2 \left[ \frac{(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)}{2} \right]^2 = \\ &=a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}. \end{split} $

Uwaga. Układ równań $x+y+z = 0$ i $x^2 + y^2 + z^2 = a$ , gdzie $a > 0$ , ma nieskończenie wiele rozwiązań $(x, y, z)$ . Wynik powyższego zadania oznacza, że dla każdego z tych rozwiązań suma $x^4 + y^4 + z^4$ ma tę samą wartość $\frac{a^2}{2}$ . Gdyby warunek $x+y+z =0$ nastąpić warunkiem ogólniejszym $x+y+z = b$ , gdzie $b$ jest daną liczbą, nie można by udowodnić, że suma $x^4 + y^4 + z^4$ ma wartość jednoznacznie określoną przez $a$ i $b$ . Gdy $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, równania $x+y+z=b$ i $x^2 + y^2 +z^2 = a$ mogą mieć nawet rozwiązania $(x, y, z)$ w liczbach naturalnych o różnych wartościach sumy $x^4+y^4+z^4$ . Dowodzi tego przykład $a = 5946$ , $b = 108$ , gdyż

$1 + 43 + 64 = 8 + 29 + 71 = 16 + 19 + 73 = 108,$

$1^2+ 43^2 + 64^2 = 8^2 + 29^2 + 71^2 = 16^2 + 19^2 + 73^2 = 5946,$

natomiast sumy $1^4 + 43^4 + 64^4$ , $8^4 + 29^4 + 71^4$ i $16^4 + 19^4 + 73^4$ są różne.

Żeby się o tym przekonać, nie potrzeba obliczać tych sum dokładnie; wystarczy posługując się tablicą kwadratów liczb od $1$ do $1000$ sprawdzić, że pierwsza z nich jest mniejsza od $21 \cdot 10^6$ , druga jest zawarta między $26 \cdot 10^6$ i $27 \cdot 10^6$ , a trzecia jest większa od $28 \cdot 10^6$ .

Gdy $a = 66$ , $b = 10$ , wtedy

$ (-1) + 4 + 7 = 1 + 1 + 8 = 10,\ (-1)^2 + 4^2 + 7^2 = 1^2 + 1^2 + 8^2 = 66, $

natomiast

$ (-1)^4 + 4^4 + 7^4 = 2658, \textrm{ a } 1^4 + 1^4 + 8^4 = 4098. $