VI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Znaleźć liczbę naturalną $n$ wiedząc, że suma

$ 1 + 2 + 3 + \ldots + n $

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

Rozwiązanie

Liczba trzycyfrowa o jednakowych cyfrach ma postać $111 \cdot c = 3 \cdot 37 \cdot c$ , gdzie $c$ jest jedną z liczb $1, 2, \ldots, 9$ , suma zaś pierwszych $n$ liczb naturalnych wynosi $\frac{1}{2} n (n + 1)$ , wobec czego liczba $n$ ma czynić zadość warunkowi

$ (1) \qquad n(n + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 37 \cdot c. $

Ponieważ $37$ jest liczbą pierwszą, więc jedna z liczb $n$ i $n+1$ musi być podzielna przez $37$ . Możliwe są dwa przypadki:

a) $n = 37 k$ , gdzie $k$ jest liczbą naturalną; równość (1) daje wówczas

$ k (37k + 1) =2 \cdot 3 \cdot c. $

Prawa strona jest tu najwyżej równa $54$ , wobec czego liczba $k$ może być najwyżej równa $1$ , czyli $n = 37$ . Wartość ta nie jest jednak rozwiązaniem zadania, gdyż $\frac{1}{2} n (n + 1)$ równa się wówczas $37 \cdot 19 = 703$ .

b) $n + 1 = 37 k$ ( $k$ = liczba naturalna); równość (1) daje $(37 k - 1) k = 2 \cdot 3 \cdot c$ .

Jedyną możliwą wartością $k$ jest podobnie jak w a) liczba $1$ , wówczas $n = 36$ i $\frac{1}{2} n(n + 1) = 18 \cdot 37 = 666$ . Zatem jedynym rozwiązaniem zadania jest $n = 36$ .