Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

Strona główna > Wersja do wydruku > Wersja do wydruku

VI OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne: 
VI OM, 1954-1955
Etap: 
II

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

Rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia wskazane na rys. 9. Trójkąt o bokach równych $ a $, $ c $,$ h $ można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są nierówności:

\[<br /> a + c > h,\<br /> c + h > a,\<br /> a + h > c.<br /> \]

Ponieważ w trójkącie $ ADC $ mamy $ a > h $, $ \frac{c}{2} + h > a $, więc pierwsze dwie z powyższych nierówności zachodzą zawsze, wobec czego warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia trójkąta o bokach $ a $, $ c $, $ h $ jest nierówność

\[<br /> (1) \qquad a + h> c.<br /> \]

Z trójkąta $ ADC $ mamy $ h = a \cos \frac{x}{2} $, $ \frac{c}{2} = a \sin \frac{x}{2} $; podstawienie do nierówności (1) daje

\[<br /> 1 + \cos \frac{x}{2} > 2 \sin \frac{x}{2}<br /> \]

lub

\[<br /> 2 \cos^2 \frac{x}{4} > 4 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4},<br /> \]

a ponieważ $ \frac{x}{4} < 90^\circ $, więc warunek żądany przybiera postać

\[<br /> \tg \frac{x}{4} < \frac{1}{2}<br /> \]

lub

\[<br /> x < 4 \arctan \frac{1}{2}.<br /> \]

W przybliżeniu $ 4 \arctan -\frac{1}{2} \approx 106^\circ $ (z niedomiarem).

© Prawa autorskie Polskie Towarzystwo Matematyczne | Serwis znajduje się na serwerze MIMUW | Projekt: Krystyna Jaworska | Realizacja: Paweł Witkowski INTools, Tomasz Filar
Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1657