VI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Wewnątrz trójkąta $ABC$ dany jest punkt $P$ ; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $Q$ , żeby łamana $APQ$ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę trójkąty $APB$ i $APC$ . Możliwe są trzy następujące przypadki:

a) Każdy z trójkątów $APB$ i $APC$ ma pole mniejsze od połowy pola trójkąta $ABC$ . Przypadek ten zachodzi, gdy odległości punktu $P$ od boków $AB$ i $BC$ są mniejsze niż połowy odpowiednich wysokości trójkąta, tzn. gdy punkt $P$ leży wewnątrz równoległoboku $AFDE$ , którego wierzchołki $F$ , $D$ , $E$ są odpowiednio środkami boków $AB$ , $BC$ i $CA$ (rys. 10).

Jeżeli punkt $P$ leży na tej przekątnej $AD$ równoległoboku, która jest środkową trójkąta $ABC$ , to poszukiwany punkt $Q$ pokrywa się z punktem $D$ .

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy punkt $P$ leży wewnątrz jednego z trójkątów $AFD$ i $AED$ , na przykład wewnątrz trójkąta $AFD$ . Jeżeli łamana $APQ$ spełnia warunki zadania, to punkt $Q$ leży wewnątrz odcinka $CD$ , a odcinek $PQ$ przecina środkową $AD$ w pewnym punkcie $S$ . Wówczas $\textrm{pole }ABQP = \textrm{pole }ABD$ , zatem $\textrm{pole }ASP = \textrm{pole }QSD$ , wobec czego $\textrm{pole }APD = \textrm{pole }QPD$ , skąd wynika, że prosta $AQ$ jest równoległa do prostej $PD$ . Poszukiwany punkt $Q$ wyznaczymy więc w tym przypadku jako punkt przecięcia półprostej poprowadzonej przez punkt $A$ równolegle do prostej $PD$ z odcinkiem $DC$ . Punkt taki istnieje zawsze, gdyż owa półprosta, jako równoległa do $PD$ , leży wewnątrz kąta $DAC$ .

b) Jeden z trójkątów $APB$ i $APC$ , na przykład $\triangle APB$ , ma pole równe połowie trójkąta $ABC$ . Poszukiwaną łamaną jest wtedy łamana $APB$ .

c) Jeden z trójkątów $APB$ i $APC$ , na przykład $\triangle APB$ , ma pole większe od połowy pola trójkąta $ABC$ . Przypadek ten zachodzi, gdy punkt $P$ leży wewnątrz trójkąta $EDC$ (rys. 11).

Jeżeli łamana $APQ$ spełnia warunek zadania, to punkt $Q$ leży wewnątrz boku $AB$ , a odcinek $PQ$ przecina odcinek $AD$ w pewnym punkcie $S$ . Wówczas $\textrm{pole }AQP = \textrm{pole }ABD$ , zatem $\textrm{pole }ASP = \textrm{pole }SQBD$ . Poprowadźmy przez punkt $B$ prostą równoległą do przekątnej $QD$ czworokąta $SQBD$ ; przetnie ona przedłużenie boku $SD$ , w pewnym punkcie $G$ . Wówczas $\textrm{pole }QDG = \textrm{pole }QDB$ zatem $\textrm{pole }SQBD = \textrm{pole }SQG$ , wobec czego $\textrm{pole }ASP = \textrm{pole }SQG$ a $\textrm{pole }APG = \textrm{pole }QPG$ , skąd wynika, że prosta $PG$ jest równoległa do prostej $AB$ . Konstrukcja łamanej $APQ$ jest więc następująca: Prowadzimy przez punkt $P$ prostą równoległą do prostej $AB$ do przecięcia z przedłużeniem odcinka $AD$ w punkcie $G$ , a następnie przez punkt $D$ prostą równoległą do prostej $GB$ , która przetnie odcinek $AB$ w szukanym punkcie $Q$ . Istotnie $\textrm{pole } APQ = \textrm{pole }ASQ + \textrm{pole }APS = \textrm{pole } ASQ + \textrm{pole } SQG = \textrm{pole } ASQ + \textrm{pole } APS = \textrm{pole }ABD = \frac{1}{2} \textrm{pola }ABC$ .