VI OM - II - Zadanie 5

Dany jest trójkąt . Znaleźć prostokąt o najmniejszym polu zawierający ten trójkąt.

Rozwiązanie

Jeżeli prostokąt o polu zawiera trójkąt , to możliwe są tylko przypadki następujące:

1. Na każdym boku prostokąta leży jakiś wierzchołek trójkąta. Ponieważ czworokąt ma cztery boki, a trójkąt trzy wierzchołki, więc co najmniej jeden wierzchołek trójkąta musi leżeć na dwóch bokach prostokąta, tzn. w jednym z wierzchołków prostokąta. Mamy zatem dwie możliwości:

a) Tylko jeden wierzchołek trójkąta jest wierzchołkiem prostokąta (rys. 12).

Przyjmując oznaczenia podane na rys. 12 poprowadźmy odcinki i równolegle do boków i prostokąta. Stwierdzamy, że

Suma lewych stron powyższych związków równa się polu trójkąta , zatem .

Pole trójkąta jest zatem mniejsze od pola pozostałej części prostokąta, czyli

b) Co najmniej dwa wierzchołki trójkąta są wierzchołkami prostokąta (rys. 13). Wówczas oczywiście

2. Przynajmniej na jednym z boków prostokąta nie leży żaden wierzchołek trójkąta (rys. 14)

Przesuwając równolegle te boki prostokąta, na których nie ma wierzchołków trójkąta, jak pokazuje rys. 14, otrzymamy prostokąt o polu położony tak jak w przypadku 1a) lub 1b), zatem , a ponieważ więc

Okazało się więc, że prostokąt zawierający dany trójkąt ma najmniejsze pole wtedy, gdy jeden z boków prostokąta pokrywa się z jednym z boków trójkąta, a bok przeciwległy prostokąta przechodzi przez trzeci wierzchołek trójkąta; pole prostokąta jest wówczas równe podwojonemu polu trójkąta. Dla trójkąta ostrokątnego są trzy takie prostokąty, dla prostokątnego - dwa, dla rozwartokątnego - jeden.

Uwaga. Dowód, że w przypadku 1a) zachodzi nierówność monia również uzyskać w sposób następujący (rys. 12).

ponieważ , więc ; z poprzedniej równości wynika zatem, że