IX CPS - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

IX CPS, 2009

Niech $a,k$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ definiujemy następująco:

$ a_1=a\quad\text{oraz}\quad a_{n+1}=a_n+k\varrho(a_n),\quad\text{dla }n=1,2,\dots, $

gdzie $\varrho(m)$ oznacza iloczyn cyfr liczby $m$ w zapisie dziesiętnym (np. $\varrho(413)=12$ , $\varrho(308)=0$ ). Udowodnić, że istnieją takie liczby całkowite dodatnie $a$ i $k$ , że ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ przyjmuje dokładnie 2009 różnych wartości.

Rozwiązanie

Zauważmy, że ciąg $(a_n)_{n=1}^\infty$ jest rosnący do momentu pojawienia się pierwszego wyrazu, w którego rozwinięciu dziesiętnym jest 0 i od tego miejsca ciąg jest stały. Wskażemy zatem takie $a$ i $k$ , że 0 pojawi się po raz pierwszy w rozwinięciu $a_{2009}$ .

Niech

$ a=6\underbrace{11\dots 1}_{2007}\qquad\text{i}\qquad k=\underbrace{33\dots3}_{2007}4=\frac16\cdot2\underbrace{00\dots 0}_{2007}4. $

Wtedy

$ \begin{array}{lll} a_1=6\underbrace{11\dots 1}_{2007}, & \varrho(a_1)=6, & k\varrho(a_1)=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}4,\\ a_2=26\underbrace{11\dots 1}_{2006}5, & \varrho(a_2)=60, & k\varrho(a_2)=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}40,\\ a_3=226\underbrace{11\dots 1}_{2005}55, & \varrho(a_3)=600, & k\varrho(a_3)=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}400,\\ & \,\vdots &&&&\\ a_{i+1}=\underbrace{22\dots2}_i6\underbrace{11\dots 1}_{2007-i}\underbrace{55\dots5}_i, & \varrho(a_{i+1})=6\underbrace{0\dots 0}_i, & k\varrho(a_{i+1})=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}4\underbrace{00\dots 0}_i,\\ & \,\vdots &&&&\\ a_{2007}=\underbrace{22\dots2}_{2006}61\underbrace{55\dots5}_{2006}, & \varrho(a_{2007})=6\underbrace{0\dots 0}_{2006}, & k\varrho(a_{2007})=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}4\underbrace{00\dots 0}_{2006},\\ a_{2008}=\underbrace{22\dots2}_{2007}6\underbrace{55\dots5}_{2007}, & \varrho(a_{2008})=6\underbrace{0\dots 0}_{2007}, & k\varrho(a_{2008})=2\underbrace{00\dots 0}_{2007}4\underbrace{00\dots 0}_{2007},\\ a_{2009}=\underbrace{22\dots2}_{2007}30\underbrace{55\dots5}_{2007}, & \varrho(a_{2009})=0, & k\varrho(a_{2009})=0 \end{array} $

oraz $a_n=a_{2009}$ dla wszystkich $n>2009$ . Zatem dla powyższych $a$ i $k$ ciąg spełnia warunki zadania.