VI OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

Wewnątrz kąta trójściennego $OABC$ , którego kąty płaskie $AOB$ , $BOC$ , $COA$ są równe, obrano punkt $S$ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $S$ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $OA$ , $OB$ , $OC$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że suma

$ \frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} + \frac{1}{OP} $

ma wartość stałą, tzn. niezależną od położenia płaszczyzny $MNP$ .

Rozwiązanie

Obliczymy dwoma sposobami objętość $V$ czworościanu $OMNP$ (rya. 15).

1°. Mech $PQ$ będzie prostopadłą opuszczoną z punktu $P$ na płaszczyznę $AOB$ i niech $\alpha$ oznacza kąt $AOB$ , a $\beta$ - kąt nachylenia krawędzi $OP$ do płaszczyzny $AOB$ ; wówczas $PQ =OP \cdot \sin \beta$ oraz

$ \begin{split} V & = \frac{1}{3} \textrm{pole }M0N \cdot PQ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} OM \cdot ON \cdot \sin \alpha\right) \cdot \left( OP \cdot \sin \beta \right)= \\ & = \frac{1}{6} OM \cdot ON \cdot OP \cdot \sin \alpha \sin \beta. \end{split} $

2°. Czworościan $OMNP$ jest sumą czworościanów $SM0N$ , $SNOP$ , $SPOM$ o wspólnym wierzchołku $S$ i podstawach $MON$ , $NOP$ , $POM$ ; wysokości tych czworościanów są równe odległości $d$ punktu $S$ od ścian kąta trójściennego. Zatem

$ \begin{split} V & = V_{SMON} + V_{SNOP} + V_{SPOM} = \\ &=\frac{1}{3} d \cdot (\textrm{pole }MON + \textrm{pole }NOP + \textrm{pole }POM) =\\ & = \frac{1}{6} d \cdot (OM \cdot ON + ON \cdot OP + OP \cdot OM) \sin \alpha. \end{split} $