VI OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

III

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $30$ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $7$ .

Rozwiązanie

Siedem liczb tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $30$ można napsać w postaci: $a, a + 30, a + 2 \cdot 30, \ldots, a + 6 \cdot 30$ . Różnica którychkolwiek dwóch z tych liczb ma postać

$<br /> r = (a + k \cdot 30) - (a + m \cdot 30) = (k - m) \cdot 28 + (k - m) \cdot 2,<br />$

gdzie $k$ i $m$ są liczbami całkowitymi, przy czym $0 \leq k \leq 6$ , $0 \leq m \leq 6$ , $k \ne m$ , wobec czego $- 6 \leq k - m \leq 6$ i $k - m \ne 0$ . Liczba $(k-m) \cdot 28$ jest podzielna przez $7$ , a liczba $(k - m) \cdot 2$ nie jest podzielna przez $7$ , gdyż jej wartość bezwzględna jest liczbą naturalną parzystą nie większą niż $12$ . Wobec tego suma tych liczb tj. liczba $r$ nie jest podzielna przez $7$ . Stąd wynika, że każda z rozważanych siedmiu liczb daje inną resztę przy dzielniku $7$ , a zatem jedna i tylko jedna z tych siedmiu reszt równa się zeru, c. n. d.