VI OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

III

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ i $c$ , żeby równanie

$ (1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

Rozwiązanie

Zadanie można sformułować w sposób następujący: Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $a$ , $b$ , $c$ , aby istniały liczby $x_1$ i $q$ o następujących własnościach:

a) liczby $x_1$ , $x_1 q$ , $x_1 q^2$ spełniają równanie (1),

b) liczby $x_1$ i $q$ są rzeczywiste,

c) $x_1 \ne 0$ ,

d) $q \ne 0$ , $q \ne 1$ , $g \ne -1$ .

Zajmiemy się najpierw wyszukaniem warunków koniecznych, a następnie zbadamy czy warunki te są dostateczne.

Jeżeli zachodzi a), to spełnione są równania (wzory Viete'a):

$ (2) \qquad \begin{array}{c} x_1 + x_1 q + x_1 q^2 = - a,\\ x_1^2 q + x1^2 q^2 + x1^2 q^3 = b,\\ x_1^3 q^3 = - c. \end{array} $

Oznaczając dla krótkości literą $m$ tę (jedyną) liczbę rzeczywistą, dla której $m^3 = - c$ zastąpimy układ równań (2) układem

$ (3) \qquad \begin{array}{c} x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\ x_1^2q (1 + q + q^2) = b,\\ x_1 q = m. \end{array} $

Układ równań (3) jest równoważny układowi

$ (4) \qquad \begin{array}{c} x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\ a x_1 q + b = 0,\\ x_1 q = m. \end{array} $

Drugie równanie układu (4) otrzymaliśmy mnożąc pierwsze z równań (3) przez $x_1 q$ a następnie odejmując je od drugiego z tych równań.

Z drugiego i trzeciego równania układu (4) wynika, że

$ (\alpha) \qquad b = - dm. $

Znaleźliśmy w ten sposób pierwszy warunek konieczny dla współczynników równania (1). Jeśli ten warunek jest spełniony, to układ (4) jest równoważny układowi

$ (5) \qquad \begin{array}{c} x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\ x_1 q = m. \end{array} $

Zastępując w pierwszym równaniu układu (5) $x_1 q$ przez $m$ otrzymujemy układ równoważny

$ (6) \qquad \begin{array}{c} x_1 + mq = - a - m,\\ x_1 q = m. \end{array} $

Biorąc pod uwagę warunek (c) widzimy, że dalszym warunkiem koniecznym dla współczynników $a$ , $b$ , $c$ jest nierówność

$ (\beta) \qquad m \ne 0. $

Rugując $x_1$ z równań (6) otrzymamy równanie

$ (7) \qquad mq^2 + (m + a) q + m = 0. $

Aby równanie (7) miało pierwiastki rzeczywiste (warunek b) musi być (wobec tego, że $m \ne 0$ ) spełniony warunek

$ (\gamma) \qquad a^2 + 2 am - 3 m^2 \geq 0. $

Uwzględniając wreszcie, że według d) ma być $q \ne 1$ i $q \ne - 1$ otrzymujemy z równania (7) jeszcze dwa warunki konieczne dla $a$ , $b$ , $c$ :

$ (\delta) \qquad a \ne - 3 m, $

$ (\varepsilon) \qquad a \ne m. $

Zauważmy jednak, że wartości $a = - 3 m$ i $a = m$ są tymi wartościami $a$ , dla których trójmian $a^2 + 2 am - 3 m^2$ równa się zeru. Możemy wobec tego zastąpić warunki ( $\gamma$ ), ( $\delta$ ), ( $\varepsilon$ ) jednym warunkiem

$ (\eta) \qquad a^2 + 2 am - 3 m^2 > 0. $

Ostatecznie otrzymaliśmy zatem trzy warunki ( $\alpha$ ), ( $\beta$ ), ( $\eta$ ) jako warunki konieczne dla współczynników $a$ , $b$ , $c$ równania (1).

Udowodnimy, że te warunki są dostateczne, tzn. że jeżeli spełnione są warunki ( $\alpha$ ), ( $\beta$ ), ( $\eta$ ), to istnieją liczby $x_1$ i $q$ spełniające warunki a), b), c), d).

Istotnie, na mocy ( $\beta$ ) i ( $\eta$ ) równanie (7) ma dwa pierwiastki rzeczywiste; niech $q$ oznacza jeden z nich (drugim jest $\frac{1}{q}$ ). Na mocy ( $\beta$ ) jest $q \ne 0$ , a na mocy ( $\eta$ ) mamy $q \ne 1$ i $q \ne - 1$ . Z drugiego równania układu (6) otrzymamy wówczas $x_1 = \frac{m}{q}$ , przy czym $x_1$ jest liczbą rzeczywistą i spełnia również pierwsze równanie układu (6), a na mocy ( $\beta$ ) jest $x_1 \ne 0$ . Ponieważ układ (6) jest przy spełnieniu warunku (a) równoważny układowi równań (2), więc znalezione wartości $x_1$ i $q$ spełniają układ (2), a wobec tego spełniają też równanie (1).

Warunek ( $\eta$ ) oznacza, że $m$ jest zawarte między liczbami $a$ i $-\frac{a}{3}$ ; uwzględniając, że $m^3 = - c$ możemy warunkom ( $\alpha$ ), ( $\beta$ ), ( $\eta$ ) nadać następującą ostateczną postać:

$ (W) \qquad \left\{ \begin{array}{c} b^3 = a^3 c,\\ c \ne 0,\\ c \textrm{ jest zawarte między } -a^3 \textrm{ i } \frac{a^3}{27}. \end{array} \right. $