VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny ; dowieść, że jeżeli jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości , , jest równa sumie dwóch pozostałych.

Rozwiązanie

Gdy punkt znajduje się w jednym z wierzchołków trójkąta , twierdzenie jest oczywiste, gdyż wówczas jedna z odległości , , równa się zeru. Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy leży wewnątrz jednego z łuków, na jakie punkty , , dzielą okrąg, na przykład wewnątrz łuku .

Natychmiastowy dowód twierdzenia uzyskujemy stosując twierdzenie Ptolemeusza do czworokąta :

ponieważ , więc z powyższej równości wynika, że