VI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

III

Dowieść, że

$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1. $

Rozwiązanie

Nierówność

$ \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1 $

jest równoważna nierówności

$ \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta \geq - \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1 $

(od obu stron nierówności odjęliśmy $2 \sin \alpha \sin \beta$ ), czyli nierówności

$ (\sin \alpha - \sin \beta)^2 \geq (\sin \alpha - 1) (1 - \sin \beta), $

ta zaś nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest $\geq 0$ , a prawa jest $\leq 0$ (albowiem $\sin \alpha - 1 \leq 0$ , a $1 - \sin \beta \geq 0$ ).

Zauważmy, że w rozważanej nierówności znak $\geq$ można zastąpić przez znak $=$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\sin \alpha = \sin \beta = 1$ .