VI OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

III

Na płaszczyźnie dana jest prosta $m$ oraz punkty $A$ i $B$ leżące po przeciwnych stronach prostej $m$ . Znaleźć na prostej $m$ taki punkt $M$ , żeby różnica odległości tego punktu od punktów $A$ i $B$ była jak największa.

Rozwiązanie

Niech $B'$ będzie punktem symetrycznym do punktu $B$ względem prostej $m$ (rys. 18). Jeżeli punkt $P$ jest dowolnym punktem prostej $m$ , to

$<br /> |AP -BP|= |AP - B'P| \leq AB'.<br />$

Różnica $|AP - BP|$ osiąga zatem swą największą wartość, równą długości odcinka $AB'$ , gdy $|AP - B'P| = AB$ , tzn. gdy punkty $A$ , $B'$ , $P$ leżą na jednej prostej. Jeśli prosta $AB'$ nie jest równoległa do prostej $m$ , to szukany punkt $M$ jest punktem przecięcia prostych $AB'$ i $m$ . Prosta $m$ jest wówczas dwusieczną kąta $AMB$ . Jeśli proste $AB'$ i $m$ są równoległe, tzn. jeśli punkty $A$ i $B$ są równo odlegle od prostej $m$ , wówczas zadanie nie ma rozwiązania.

Dowiedzione twierdzenie pozwala w prosty sposób uzasadnić ważną własność hiperboli. Niech $A_1$ i $A_2$ będą wierzchołkami, a $F_1$ i $F_2$ - ogniskami hiperboli (rys. 19). Hiperbola dzieli płaszczyznę na trzy obszary, które oznaczymy $I$ , $II$ , $III$ , jak na rys. 19.

Niech $m$ będzie prostą styczną do hiperboli w punkcie $M$ , a $P$ - dowolnym punktem prostej $m$ . Prosta $m$ leży (poza punktem $M$ ) w obszarze $I$ zatem różnica $|F_1P - F_2P|$ jest dla każdego punktu $P$ różnego od $M$ mniejsza niż $A_1A_2$ , a w punkcie $M$ osiąga swą największą wartość równą długości $A_1A_2$ . Z dowiedzionego poprzednio twierdzenia wynika, że prosta $m$ jest dwusieczną kąta $F_1MF_2$ , tzn. zachodzi twierdzenie:

Styczna do hiperboli jest dwusieczną kąta utworzonego przez odcinki łączące punkt styczności z ogniskami hiperboli.