VI OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

VI OM, 1954-1955

Etap:

III

Przez punkty $A$ i $B$ poprowadzono dwie proste skośne $m$ i $n$ prostopadłe do prostej $AB$ . Na prostej $m$ obrano punkt $C$ (różny od $A$ ), a na prostej $n$ punkt $D$ (różny od $B$ ). Mając dane długości odcinków $AB = d$ i $CD = l$ oraz kąt $\varphi$ , jaki tworzą proste skośne $m$ i $n$ , obliczyć promień powierzchni kuli przechodzącej przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Rozwiązanie

Rys. 20 przedstawia rozważaną figurę w rzucie prostokątnym na płaszczyznę wyznaczoną przez proste $AB$ i $n$ , wobec czego na tym rysunku $AB \bot n$ . Dla uproszczenia oznaczamy rzuty punktów i prostych tymi samymi literami, co same punkty i proste. Poprowadźmy przez punkt $A$ prostą $p$ równoległą do prostej $m$ , a przez punkt $C$ prostą równoległą do prostej $AB$ ; przetnie ona prostą $p$ w punkcie $E$ . Mech $\sigma$ oznacza powierzchnię kuli czyli sferę przechodzącą przez punkty $ABCD$ ; ponieważ punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżą w jednej płaszczyźnie (proste $m$ i $n$ są skośne), więc taka sfera istnieje i to tylko jedna. Czworokąt $ABCE$ jest prostokątem, gdyż $AB \bot m$ , $CE \bot m$ i $AB \bot p$ ; ponieważ trzy wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ tego prostokąta leżą na sferze $\sigma$ , więc i czwarty wierzchołek $E$ też leży na $\sigma$ . Sfera $\sigma$ przecina płaszczyznę prostych $n$ i $p$ według okręgu przechodzącego przez punkty $A$ , $D$ , $E$ ; środek $S$ tego okręgu jest zatem środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ADE$ ; objaśnimy za chwilę, jak punkt $S$ wyznaczony został konstrukcyjnie na rys. 20. Środek $O$ sfery $\sigma$ leży na prostej prostopadłej w punkcie $S$ do płaszczyzny $ADE$ , a więc na równoległej do $AB$ (gdyż $AB \bot n$ i $AB \bot p$ ). Z drugiej strony punkt $O$ jako równo odległy od punktów $A$ i $B$ leży na płaszczyźnie symetralnej odcinka $AB$ wobec czego jego odległość $OS$ od płaszczyzny $ADE$ jest równa $\frac{1}{2} AB$ . Punkt $O$ znajdujemy zatem prowadząc przez punkt $S$ równoległą do $AB$ i odmierzając na niej $SO = \frac{1}{2} d$ w kierunku od $A$ do $B$ .

Weźmy pod uwagę trójkąt $ASO$ ; kąt przy wierzchołku $S$ jest prosty, przeciwprostokątna $OA$ równa się szukanemu promieniowi $r$ sfery $\sigma$ , $OS = \frac{1}{2} d$ , a $SA$ równa się promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ADE$ , więc $SA = \frac{DE}{2 \sin \measuredangle DAE}$ . Lecz z trójkąta prostokątnego $DEC$ ( $CE$ jest prostopadłe do płaszczyzny $ADE$ ) $DE^2 = DC^2 - EC^2 = l^2 - d^2$ , a kąt $DAE$ równa się kątowi $\varphi$ prostych skośnych $m$ i $n$ , zatem $SA = \frac{\sqrt{l^2 - d^2}}{2 \sin \varphi}$ .

Ponieważ w trójkącie $ASO$ jest $OA^2 = SO^2 + SA^2$ więc

$<br /> r^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{l^2 - d^2}{4 \sin \varphi} = \frac{l^2 - d^2 \cos^2 \varphi}{4 \sin^2 \varphi}<br />$

i ostatecznie

$<br /> r = \frac{\sqrt{l^2 - d^2 \cos^2 \varphi}}{2 \sin \varphi}.<br />$

Konstrukcja punktu $S$ zaznaczona jest na rys. 20 liniami kreskowanymi, przebiega ona jak następuje. Wykonujemy kład trójkąta $ADE$ na płaszczyznę rysunku, tj. na płaszczyznę $ABD$ , tzn. obracamy płaszczyznę $ADE$ dookoła prostej $n$ tak, aby punkt $E$ znalazł się w pewnym punkcie $(E)$ płaszczyzny rysunku. Podczas takiego obrotu rzut prostokątny każdego punktu płaszczyzny $ADE$ porusza się po prostej prostopadłej do $n$ . Punkt $(E)$ znajdujemy w przecięciu prostopadłej opuszczonej z punktu $E$ na prostą $n$ i półprostej poprowadzonej z punktu $A$ i tworzącej z półprostą $AD$ kąt $\varphi$ (w naturalnej wielkości).

Niech $(S)$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $AD(E)$ i niech prosta $A(S)$ przecina prostą $D(E)$ w punkcie $(M)$ . Prowadząc z punktu $(M)$ prostopadłą do prostej $n$ do przecięcia w punkcie $M$ z prostą $DE$ , a następnie z punktu $(S)$ prostopadłą do prostej $n$ znajdziemy w przecięciu tej prostopadłej z prostą $AM$ poszukiwany punkt $S$ .

Zauważmy jeszcze, że gdy punkty $A$ i $B$ oraz proste $m$ i $n$ są dane, to istnieje nieskończenie wiele odcinków $CD$ o danej długości $l$ i o końcach leżących na prostych $m$ i $n$ . Istnieje więc też nieskończenie wiele sfer, przechodzących przez $A$ i $B$ i przecinających proste $m$ i $n$ jeszcze w takich punktach $C$ i $D$ , że $CD = l$ . Wynik naszego zadania pokazuje, że promienie wszystkich tych sfer są równe.