IX CPS - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

IX CPS, 2009

Niech $k$ będzie okręgiem dopisanym do trójkąta $ABC$ , stycznym do boku $BC$ . Wybierzmy prostą $p$ równoległą do $BC$ , przecinającą odcinki $AB,AC$ w punktach odpowiednio $D,E$ . Oznaczmy przez $l$ okrąg wpisany w trójkąt $ADE$ . Styczne do okręgu $k$ przechodzące przez punkty $D,E$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $P$ . Styczne do okręgu $l$ przechodzące przez punkty $B,C$ i nie zawierające punktu $A$ przecinają się w punkcie $Q$ . Dowieść, że prosta $PQ$ przechodzi przez pewien ustalony punkt, niezależny od wyboru prostej $p$ .

Rozwiązanie

Załóżmy, że prosta $BC$ jest styczna do $k$ w punkcie $T_k$ , a prosta $DE$ jest styczna do $l$ w punkcie $T_l$ . Wykażemy, że szukanym punktem jest $T_k$ .

Najpierw udowodnimy, że punkty $T_k$ , $T_l$ i $P$ są współliniowe. Oznaczmy przez $U$ i $V$ punkty wspólne okręgu $k$ ze stycznymi odpowiednio $EP$ i $DP$ , zaś przez $M$ i $N$ punkty przecięcia prostej $BC$ z prostymi odpowiednio $EP$ i $DP$ . Niech $T_1$ , $T_2$ będą punktami styczności półprostych $AB$ , $AC$ do okręgu $k$ .

Ze względu na $BC\|DE$ , trójkąty $DEP$ i $NMP$ są podobne i jednokładność $\mathcal H$ o środku $P$ i skali $q=MN/ED$ odwzorowuje odcinek $DE$ na $NM$ . Aby udowodnić współliniowość $T_k$ , $T_l$ i $P$ , wystarczy zatem sprawdzić, że

$ (1) \qquad \frac{MT_k}{NT_k}=\frac{ET_l}{DT_l}, $

gdyż wtedy $\mathcal H$ odwzorowuje $T_l$ na $T_k$ .

Oznaczmy przez $a$ , $b$ , $c$ długości boków trójkąta $DEP$ i niech $AD=e$ oraz $AE=d$ . Przypomnijmy ponadto znany fakt: W dowolnym trójkącie $XYZ$ odległości wierzchołka $X$ od punktów styczności $XY$ z okręgiem wpisanym i dopisanym wynoszą odpowiednio $(XY+XZ-YZ)/2$ i $(XY+YZ-XZ)/2$ . Stosując to twierdzenie do trójkąta $NMP$ i jego okręgu dopisanego $k$ , otrzymujemy

$ (2) \qquad \frac{MT_k}{NT_k}=\frac{(MN+NP-MP)/2}{(MN+MP-NP)/2}=\frac{qa+qc-qb}{qa+qb-qc}=\frac{a+c-b}{a+b-c}. $

Korzystając ponownie z wspomnianego twierdzenia, w przypadku okręgu $l$ wpisanego w trójkąt $DEA$ mamy

$ (3) \qquad \frac{ET_l}{DT_l}=\frac{(DE+AE-AD)/2}{(DE+AD-AE)/2}=\frac{a+d-e}{a+e-d}. $

Wiadomo, że jeżeli z pewnego punktu poprowadzimy styczne do okręgu, to odległości między wyjściowym punktem a otrzymanymi punktami styczności są takie same. Powtarzając wielokrotnie ten argument, wnioskujemy, że

$ e+c+PU=e+c+PV=e+DT_1=AT_1=AT_2=d+ET_2=d+b+PU, $

a stąd $e+c=d+b$ . Zatem $c-b=d-e$ i wstawiając tę zależność do (2) i (3) otrzymujemy

$ \frac{MT_k}{NT_k}=\frac{a+(c-b)}{a-(c-b)}=\frac{a+(d-e)}{a-(d-e)}=\frac{ET_l}{DT_l}, $

czyli zależność (1) jest prawdziwa. Zatem punkt $P$ leży na odcinku $T_lT_k$ .

Podobnie dowiedziemy, że punkty $T_k$ , $T_l$ i $Q$ są współliniowe. Niech $U'$ i $V'$ będą punktami styczności $CQ$ i $BQ$ do okręgu $l$ , zaś $M'$ i $N'$ punktami przecięcia $DE$ z $CQ$ i $BQ$ . Przez $T_1'$ i $T_2'$ oznaczamy punkty styczności $l$ i półprostych odpowiednio $AD$ i $AE$ . Niech ponadto $a'$ , $b'$ , $c'$ będą długościami boków trójkąta $BCQ$ oraz niech $AB=e'$ i $AC=d'$ .