V OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $18$ .

Rozwiązanie

Niech $a - 1$ , $a$ , $a + 1$ , będą trzema kolejnymi liczbami naturalnymi; sumę ich sześcianów

$ S = (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3 $

możemy przekształcić w następujący sposób:

$ \begin{split} S & = a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = 3a^3 + 6a =\\ & = 3a (a^2 + 2) = 3a (a^2 - 1 + 3) = 3a [(a + 1) \cdot (a - 1) + 3]. \end{split} $

Ponieważ jedna z liczb $a - 1$ , $a$ , $a + 1$ jest podzielna przez $3$ , więc też jedna z liczb $a$ i $(a + 1) (a - 1) + 3$ jest podzielna przez $3$ . Stąd wynika, że suma $S$ sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielna przez $9$ .

Suma $S$ jest zatem podzielna przez $18 = 9 \cdot 2$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez $2$ . Ponieważ $S = 3a^3 + 6a$ , więc $S$ jest parzyste wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest parzyste, tzn. gdy $a - 1$ jest nieparzyste. Stąd wniosek:

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $18$ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsza z tych liczb jest nieparzysta.