V OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

I OM, 1949-1950

Etap:

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ABCD$ zachodzi równość $AB + CD = AD + BC$ , to okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ACD$ są styczne.

Rozwiązanie

Jeżeli okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ACD$ stykają się z ich wspólnym bokiem $AC$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$ (rys. 20), to według znanych wzorów mamy

$ AM = \frac{1}{2} (AB + AC- BC),\ AN = \frac{1}{2} (AD + AC - CD), $

skąd

$ (1) \qquad AM - AN = \frac{1}{2} [(AB + CD) - (AD + BC)]. $

Jeśli $AB + CD = AD + BC$ , to z powyższej równości wynika, że $AM = AN$ , tzn. że punkty $M$ i $N$ pokrywają się; oba okręgi są styczne do prostej $AC$ w tym samym punkcie, więc okręgi te są do siebie styczne.

Uwaga. Z równości (1) wynika również twierdzenie odwrotne: jeśli okręgi wpisane w trójkąty $ABC$ i $ACD$ są styczne, to $AM = AN$ , zatem $AB + CD = AD + BC$ .