V OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Wewnątrz danego trójkąta $ABC$ znaleźć taki punkt $O$ , żeby pola trójkątów $AOB$ , $BOC$ , $COA$ były w stosunku $1 \colon 2 \colon 3$ .

Rozwiązanie

Jeżeli pola trójkątów $AOB$ , $BOC$ , $COA$ są w stosunku $1 \colon 2 \colon 3$ , to pola te stanowią odpowiednio $\frac{1}{6}$ , $\frac{2}{6}$ , $\frac{3}{6}$ pola trójkąta $ABC$ . Żądany punkt $O$ leży zatem na przecięciu równoległej do prostej $AC$ poprowadzonej przez środek boku $AB$ z równoległą do prostej $BC$ odcinającą na boku $AB$ jego trzecią część, licząc od punktu $B$ . Przez ten sam punkt przechodzi równoległa do boku $AB$ odcinająca na boku $AC$ , licząc od wierzchołka $A$ , odcinek równy $\frac{1}{6}AC$ (rys. 21). Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Zadanie rozwiązuje się w ten sam sposób, jeśli zamiast stosunku $1 \colon 2 \colon 3$ wziąć stosunek $m \colon n \colon p$ dowolnych liczb naturalnych.