V OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

V OM, 1953-1954

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad x + y + z + t = 10,\ xy + zt = 14,\ xz + yt = 11,\ xyzt = 24. $

Rozwiązanie

Dodajemy drugie i trzecie równanie układu (1); otrzymujemy $xy + zt + xz + yt = 25$ lub $(x + t) (y + z) = 25$ ; biorąc to równanie zamiast trzeciego równania układu (1) otrzymujemy równoważny układ równań

$ (2) \qquad \begin{array}{c} x + y + z + t = 10,\\ (x + t)(y + z) = 25,\\ xy + zt = 14,\\ xyzt = 24. \end{array} $

W pierwszych dwóch równaniach układu (2) możemy potraktować jako niewiadome $x + t$ i $y + z$ ; mając daną sumę $10$ i iloczyn $25$ tych niewiadomych znajdujemy łatwo $x + t = 5$ , $y + z = 5$ .

Podobnie dwa ostatnie równania układu (2) możemy potraktować jako układ równań z niewiadomymi $xy$ i $zt$ ; otrzymamy stąd $xy = 12$ , $zt = 2$ , lub $xy = 2$ , $zt = 12$ .

Układ równań (2) jest zatem równoważny alternatywie:

$ (3a )\qquad \begin{array}{l} x + t = 5,\\ y + z = 5,\\ xy = 12,\\ zt = 2 \end{array} \textrm{ lub } \nr{3b} \begin{array}{l} x + t = 5,\\ y + z = 5,\\ xy = 2,\\ zt= 12. \end{array} $

Zamiast pierwszych dwóch równań układu (3a) możemy napisać $t = 5 - x$ , $z = 5 - y$ ; podstawiając te wyrażenia w ostatnie równanie otrzymujemy $(5 - x) (5 - y) = 2$ , a stąd, po uwzględnieniu trzeciego równania, $x + y = 7$ . Podobnie w układzie (3b), ostatnie równanie można zastąpić równaniem $x + y = 3$ . Dany układ równań jest więc równoważny alternatywie

$ (4a )\qquad \begin{array}{l} x + y = 7,\\ xy = 12,\\ z = 5 - y,\\ t = 5 - x \end{array} \textrm{ lub } \nr{4b} \begin{array}{l} x + y = 3,\\ xy = 2,\\ z = 5 - y,\\ t = 5 - x. \end{array} $

Z pierwszych dwóch równań układu (4a) otrzymujemy $x = 3$ , $y = 4$ , lub $x = 4$ , $y = 3$ , a z pierwszych dwóch równań układu (4b) mamy $x = 1$ , $y = 2$ lub $x = 2$ , $y = 1$ .

Dwa ostatnie równania każdego z układów (4a) i (4b) dają odpowiednie wartości $z$ i $t$ . Dany układ równań ma zatem cztery rozwiązania; są nimi układy liczb

$ (3,4,1,2),\ (4,3,2,1),\ (1,2,3,4),\ (2,1,4,3), $

w których liczby stojące na miejscu pierwszym, drugim, trzecim i czwartym oznaczają odpowiednio wartości $x$ , $y$ , $z$ , $t$ .